数学III

テキスト

数学III

関数と極限

分数関数

• ⚪【基本】一次分数関数
• ⚪【基本】一次分数関数のグラフ
• 🟡【標準】一次分数関数のグラフ
• 🟡【標準】一次分数関数のグラフと不等式

無理関数

• ⚪【基本】無理関数
• ⚪【基本】無理関数のグラフ（放物線の一部）
• 🟡【標準】無理関数のグラフと不等式

逆関数と合成関数

• ⚪【基本】逆関数
• ⚪【基本】逆関数の定義域と値域
• ⚪【基本】逆関数のグラフ
• ⚪【基本】合成関数
• ⚪【基本】グラフの平行移動・曲線の平行移動
• 🟡【標準】一次分数関数の逆関数
• 🟡【標準】指数関数の逆関数
• 🟡【標準】逆関数と合成関数
• 🔵【応用】一次分数関数の逆関数
• 🔵【応用】三角関数の逆関数
• 🔵【応用】逆関数と合成関数

数列の極限

• ⚪【基本】数列の極限
• ⚪【基本】数列の極限の性質
• ⚪【基本】数列の極限（無限大÷無限大の形）
• ⚪【基本】数列の極限とはさみうちの原理
• ⚪【基本】等比数列の極限
• 🟡【標準】数列の極限
• 🟡【標準】等比数列の極限
• 🟡【標準】数列の極限（ガウス記号）
• 🟡【標準】漸化式と等比数列の極限
• 🔵【応用】等比数列の極限
• 🔵【応用】数列の極限（二項定理）
• 🔵【応用】漸化式と等比数列の極限

無限級数

• ⚪【基本】無限級数
• ⚪【基本】無限等比級数
• ⚪【基本】無限級数の性質
• ⚪【基本】無限級数の収束・発散と項の極限
• 🟡【標準】循環小数と無限等比級数
• 🟡【標準】無限等比級数の収束条件

関数の極限

• ⚪【基本】関数の極限
• ⚪【基本】片側極限
• ⚪【基本】関数の極限の性質
• ⚪【基本】分数関数の極限
• ⚪【基本】無理関数の極限
• ⚪【基本】指数関数の極限
• ⚪【基本】対数関数の極限
• ⚪【基本】関数の極限とはさみうちの原理
• ⚪【基本】三角関数の極限
• 🟡【標準】三角関数の極限
• 🟡【標準】極限から係数を求める
• 🔵【応用】三角関数の極限と加法定理

連続関数

• ⚪【基本】関数の連続性
• ⚪【基本】連続関数
• ⚪【基本】中間値の定理
• 🟡【標準】関数の連続性
• 🟡【標準】連続性から係数を求める

微分

導関数の計算

• ⚪【基本】微分係数と導関数（の復習）
• ⚪【基本】微分可能性と連続性
• ⚪【基本】和や定数倍の微分
• ⚪【基本】積の微分
• ⚪【基本】商の微分
• ⚪【基本】合成関数の微分
• ⚪【基本】合成関数の微分の計算
• ⚪【基本】逆関数の微分
• ⚪【基本】有理数乗の微分
• 🟡【標準】積の微分と商の微分
• 🟡【標準】微分可能な関数の係数を求める
• 🟡【標準】微分係数を使って極限値を表す
• 🔴【発展】合成関数の微分と逆関数の微分の導出（少し厳密ver）

いろいろな関数の導関数

• ⚪【基本】三角関数の微分
• ⚪【基本】自然対数
• ⚪【基本】対数関数の微分
• ⚪【基本】指数関数の微分
• ⚪【基本】陰関数の微分（円の方程式と微分）
• ⚪【基本】媒介変数表示と微分
• ⚪【基本】高次導関数
• 🟡【標準】三角関数の微分
• 🟡【標準】指数関数・対数関数の微分
• 🟡【標準】対数微分法と実数乗の微分
• 🟡【標準】対数微分法の計算
• 🟡【標準】三角関数などの微分と極限値
• 🟡【標準】自然対数と極限値
• 🟡【標準】陰関数や媒介変数表示と微分
• 🟡【標準】高次導関数
• 🔵【応用】指数関数の発散速度
• 🔵【応用】ロピタルの定理と極限値
• 🔴【発展】自然対数とガチャ（くじが当たらない確率）
• 🔴【発展】微分と重解

微分と接線

• ⚪【基本】微分と接線・法線の方程式
• ⚪【基本】平均値の定理
• 🟡【標準】通る点から接線の方程式を求める
• 🟡【標準】陰関数の微分と接線
• 🟡【標準】媒介変数表示と接線
• 🟡【標準】接する2つの曲線と微分
• 🟡【標準】2曲線の共通接線と微分
• 🟡【標準】平均値の定理（具体的にcを求める）
• 🔵【応用】平均値の定理と不等式
• 🔵【応用】平均値の定理と極限
• 🔴【発展】自然対数の底eが無理数であることの証明

微分と関数のグラフ

• ⚪【基本】微分と関数の増減（平均値の定理を利用）
• ⚪【基本】極大値と極小値（の復習）
• ⚪【基本】上に凸と下に凸
• ⚪【基本】変曲点
• ⚪【基本】微分と関数のグラフ
• 🟡【標準】微分と関数のグラフと漸近線
• 🟡【標準】微分と無理関数のグラフ
• 🟡【標準】微分と三角関数のグラフ
• 🟡【標準】極値から係数を求める
• 🟡【標準】微分を利用して最大値・最小値を求める
• 🟡【標準】微分可能でない関数と極値
• 🔵【応用】図形と微分と最大・最小
• 🔵【応用】微分を用いた不等式の証明
• 🔵【応用】eのπ乗とπのe乗、どちらが大きい？
• 🔵【応用】方程式の実数解の個数と微分

速度と微分

• ⚪【基本】直線上の点の運動
• ⚪【基本】平面上の点の運動

近似式

• ⚪【基本】近似式
• 🟡【標準】近似式
• 🟡【標準】二次近似式
• 🔴【発展】テイラー展開

積分

不定積分

• ⚪【基本】不定積分の復習
• ⚪【基本】xのp乗の不定積分
• ⚪【基本】三角関数・指数関数の不定積分
• ⚪【基本】一次式と不定積分
• 🟡【標準】三角関数の不定積分
• 🟡【標準】部分分数分解と不定積分

不定積分の置換積分

• ⚪【基本】不定積分の置換積分（dxを置き換え）
• ⚪【基本】不定積分の置換積分（微分ごと置き換え）
• ⚪【基本】不定積分の置換積分の計算
• 🟡【標準】不定積分の置換積分（分数型）
• 🟡【標準】不定積分の置換積分（三角関数）
• 🔵【応用】不定積分の置換積分（分母に三角関数）
• 🔵【応用】不定積分の置換積分（√(x^2+1) を含むものその１）
• 🔵【応用】不定積分の置換積分（√(x^2+1) を含むものその２）
• 🔵【応用】不定積分の置換積分（√(x^2-a^2) を含むもの）
• 🔵【応用】不定積分の置換積分（半角のtanを利用）

不定積分の部分積分

• ⚪【基本】不定積分の部分積分
• ⚪【基本】不定積分の部分積分（繰り返し使う）
• ⚪【基本】logの不定積分（部分積分）
• 🟡【標準】logの不定積分（部分積分）
• 🟡【標準】不定積分（置換積分と部分積分の組合せ）
• 🔵【応用】不定積分の部分積分（もとの積分が現れる）

定積分

• ⚪【基本】定積分の復習
• ⚪【基本】定積分の基本的な計算
• ⚪【基本】絶対値のついた関数の定積分の復習
• 🟡【標準】三角関数の定積分

定積分の置換積分

• ⚪【基本】定積分の置換積分
• ⚪【基本】定積分の置換積分の基本的な計算
• ⚪【基本】偶数乗と奇数乗の定積分
• ⚪【基本】定積分の置換積分（三角関数や指数関数）
• 🟡【標準】偶関数と奇関数の定積分
• 🟡【標準】定積分の置換積分（分数型）
• 🟡【標準】定積分の置換積分（三角関数：cosθやsinθを使う）
• 🔵【応用】定積分の置換積分（三角関数：tanθを使う）

定積分の部分積分

• ⚪【基本】定積分の部分積分
• ⚪【基本】定積分の部分積分の計算（logの定積分など）
• 🟡【標準】定積分の部分積分の計算
• 🟡【標準】定積分の部分積分（sinとeの積）
• 🔵【応用】sinやcosの自然数乗の定積分

定積分と微分

• ⚪【基本】定積分と微分の関係の復習
• 🟡【標準】定積分で表された関数を微分する
• 🟡【標準】定積分で表された関数を微分する（区間も関数）
• 🟡【標準】定積分で表された関数を求める
• 🔵【応用】定積分と極限
• 🔵【応用】定積分の最大・最小

積分と面積

• ⚪【基本】x軸とで囲まれた部分の面積と積分
• ⚪【基本】2曲線間の面積と積分の復習
• ⚪【基本】y軸とで囲まれた部分の面積と積分
• 🟡【標準】楕円で囲まれた部分の面積と積分
• 🟡【標準】媒介変数表示と面積と積分（サイクロイド）
• 🔵【応用】接線と曲線で囲まれた部分の面積と積分
• 🔵【応用】2曲線で囲まれた部分の面積と積分（交点が求められない場合）

区分求積法

• ⚪【基本】放物線で囲まれた部分の面積を和の極限で求める
• ⚪【基本】区分求積法
• ⚪【基本】区分求積法を使って和の極限を求める
• ⚪【基本】定積分を使って不等式を示す
• 🟡【標準】区分求積法を使って和の極限を求める
• 🟡【標準】定積分を使って不等式を示す
• 🟡【標準】定積分を使って不等式を示す（和を含む）
• 🔵【応用】区分求積法を使って極限を求める
• 🔵【応用】定積分を使って不等式を示す（和を含む）

積分と体積

• ⚪【基本】積分を使って体積を求める
• ⚪【基本】積分と回転体の体積
• 🟡【標準】積分を使って体積を求める
• 🔵【応用】ドーナツの体積
• 🔵【応用】積分と回転体の体積（2曲線で囲まれた部分）