【基本】logの不定積分（部分積分）

🕒 2018/11/21 🔄 2023/05/01

ここでは、 $\log x$ の不定積分について見ていきます。言われないと思いつきませんが、部分積分を使います。なお、 $C$ は積分定数を表します。

📘 目次

logの不定積分

今までに、三角関数や指数関数といった、基本的な関数の不定積分は登場しました（参考：【基本】三角関数・指数関数の不定積分）が、 $\log x$ の不定積分はまだでした。というのも、 $\log x$ の不定積分、つまり、\[ \int \log x dx \]は、部分積分を使って計算する必要があるからなんですね。

部分積分の式をもう一度見ておきましょう（参考：【基本】不定積分の部分積分）。\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]この式に対して、どのように $\log x$ をあてはめればいいでしょうか。

$g'(x)=\log x$ とすることは難しいです。微分して $\log x$ になる関数を見つけるのは難しく、そもそもそれができるなら、部分積分を使う必要はありません。ということで、 $f(x)=\log x$ とするのが正解です。右辺の $f'(x)$ は $\dfrac{1}{x}$ となり、この部分の計算はできますね。

では、 $g(x)$ は何でしょうか。 $f(x)=\log x$ と置いてしまったら、もう他に必要なものはありません。なので、左辺の $g'(x)$ は $1$ と考えます。微分して $1$ になる関数を考えると、 $g(x)=x$ とすればいいですね。そうすると、右辺の被積分関数は、\[ f'(x)g(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1 \]となり、積分を計算することができます。

以上を踏まえて、 $\log x$ の計算をすると、次のようになります。少しくどいですが、細かく書いてみます。
\begin{eqnarray} & & \int \log x dx \\[5pt] &=& \int \log x \cdot 1 dx \\[5pt] &=& \int \log x \cdot (x)' dx \\[5pt] &=& (\log x)\cdot x -\int (\log x)'\cdot x dx \\[5pt] &=& x\log x-\int \frac{1}{x}\cdot x dx \\[5pt] &=& x\log x-\int dx \\[5pt] &=& x\log x-x+C \\[5pt] \end{eqnarray}こうして、 $\log x$ の不定積分が計算できました。実際に最後の式を微分すると、 $\log x$ になることが確かめられます。

慣れてくれば、次のような計算でいいと思います。
\begin{eqnarray} & & \int \log x dx \\[5pt] &=& x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x} dx \\[5pt] &=& x\log x-x+C \\[5pt] \end{eqnarray}

$\log x$ を $1\times \log x$ と考え、さらに $(x)'\times\log x$ と考えてから部分積分を用いているんですね。 $1$ が見えていない状態で、「 $1$ との積になっている」ことを思いつくのは、相当難しいでしょう。