数学A

テキスト

数学A

場合の数と確率

数え方の基本

• ⚫【導入】数え方の基本
• ⚪【基本】書き出して数える
• ⚪【基本】まとめて数える
• 🟡【標準】ダブらせて数える
• 🟡【標準】反対側を数える
• 🟡【標準】対応させて数える（トーナメント戦の試合数を簡単に求める）

集合の要素の個数

• ⚪【基本】集合の要素の個数
• ⚪【基本】和集合の要素の個数
• ⚪【基本】補集合の要素の個数
• 🟡【標準】和集合の要素の個数
• 🟡【標準】補集合の要素の個数
• 🟡【標準】「少なくとも」の条件が付いた集合の要素数

順列

• ⚪【基本】樹形図と和の法則
• ⚪【基本】樹形図と積の法則
• ⚪【基本】順列
• 🟡【標準】順列
• 🟡【標準】辞書式に並べると何番目？
• 🟡【標準】整数はいくつできるか
• 🟡【標準】約数の個数、約数の和
• 🟡【標準】条件のついた並べ方（部分的に固定）
• 🟡【標準】条件のついた並べ方（隣り合う場合）
• 🟡【標準】円形に並べる（円順列）
• 🟡【標準】重複順列
• 🔵【応用】数珠順列
• 🔵【応用】立方体を6色で塗り分ける方法
• 🔵【応用】条件のついた並べ方（隣り合わない場合）

組合せ

• ⚪【基本】組合せ
• 🟡【標準】組合せ
• 🟡【標準】線や三角形の個数
• 🟡【標準】特定の1つに注目した組合せ
• 🟡【標準】同じものを含む順列
• 🟡【標準】最短経路の数
• 🟡【標準】平行線と平行四辺形の個数
• 🔵【応用】最短経路の数
• 🔵【応用】条件のついた並び方（部分的に順序指定）
• 🔵【応用】展開したときの係数
• 🔵【応用】人をグループに分ける方法の総数
• 🔵【応用】重複組合せ
• 🔵【応用】指定した合計値になる整数の組合せ

確率の基本

• ⚪【基本】確率の基本事項
• ⚪【基本】同様に確からしい
• ⚪【基本】和の法則（確率）
• ⚪【基本】和事象の確率
• ⚪【基本】余事象の確率（起こらない確率）
• 🟡【標準】順列と確率
• 🟡【標準】組合せと確率
• 🟡【標準】円順列と確率
• 🔴【発展】クラスに同じ誕生日の人がいる確率は？

独立試行・反復試行

• ⚪【基本】独立試行
• ⚪【基本】独立試行の確率
• ⚪【基本】反復試行
• ⚪【基本】反復試行の確率
• 🟡【標準】独立試行の確率
• 🟡【標準】点の移動と確率
• 🟡【標準】先に3勝する確率
• 🔵【応用】さいころの最大値と確率

条件付き確率

• ⚪【基本】条件付き確率
• ⚪【基本】条件付き確率と積の法則
• 🟡【標準】条件付き確率と積の法則
• 🔵【応用】原因の確率

期待値

• ⚪【基本】期待値
• 🟡【標準】期待値

図形の性質

三角形の辺の比

• ⚪【基本】三角形の内角の二等分線と比
• ⚪【基本】三角形の外角の二等分線と比

三角形の中心

• ⚪【基本】三角形の外心
• ⚪【基本】三角形の内心
• ⚪【基本】三角形の重心
• 🟡【標準】三角形の垂心（なぜ3つの垂線は1点で交わるか）
• 🟡【標準】三角形の外心・内心と角
• 🔵【応用】三角形の傍心

三角形と直線

• ⚪【基本】チェバの定理
• ⚪【基本】メネラウスの定理
• 🟡【標準】チェバの定理とメネラウスの定理
• 🔵【応用】チェバの定理とメネラウスの定理
• 🔵【応用】チェバの定理の逆
• 🔵【応用】メネラウスの定理の逆

円に内接する四角形

• ⚪【基本】円に内接する四角形
• ⚪【基本】四角形が円に内接するための条件
• 🟡【標準】円に内接する四角形

円と直線

• ⚪【基本】円の接線
• ⚪【基本】接弦定理
• ⚪【基本】方べきの定理（2本の弦）
• ⚪【基本】方べきの定理（接線）
• 🔵【応用】方べきの定理の逆（2本の弦）

2つの円

• ⚪【基本】2つの円と共通接線

作図

• 🔴【発展】円に内接する正五角形の作図（デザインあ おとなスペシャル2020で紹介されてたやつ）

空間における直線と平面

• ⚪【基本】空間における直線や平面の決定
• ⚪【基本】空間における2直線の位置関係
• ⚪【基本】空間における2平面の位置関係
• ⚪【基本】空間における直線と平面の位置関係
• 🟡【標準】空間における2直線のなす角
• 🟡【標準】三垂線の定理
• 🔵【応用】平面に垂直な直線
• 🔵【応用】平面に垂直な2直線
• 🔵【応用】空間における平行な3直線
• 🔵【応用】空間における2直線のなす角

整数の性質

約数と倍数

• ⚪【基本】約数と倍数
• ⚪【基本】倍数判定法
• ⚪【基本】素数と素因数分解
• ⚪【基本】素因数分解と約数の個数
• 🟡【標準】素因数分解とルート
• 🟡【標準】素因数分解と何回割れるか問題
• 🟡【標準】素因数分解と約数の和
• 🟡【標準】因数分解と方程式の整数解
• 🔵【応用】倍数判定法（7と11と13の場合）
• 🔵【応用】方程式の整数解と不等式

最大公約数と最小公倍数

• ⚪【基本】最大公約数と最小公倍数
• ⚪【基本】互いに素
• 🟡【標準】最小公倍数と素因数分解（最小公倍数からもとの整数を求める）
• 🟡【標準】互いに素と自然数解
• 🟡【標準】最大公約数と最小公倍数の積

整数の除法と商と余り

• ⚪【基本】整数の除法と商と余り
• ⚪【基本】整数の和や積と余り
• ⚪【基本】余りによる整数の分類
• 🟡【標準】連続する整数の積
• 🔵【応用】合同式
• 🔵【応用】合同式を使って余りを求める

ユークリッドの互除法

• ⚫【導入】ユークリッドの互除法
• ⚪【基本】ユークリッドの互除法の使い方
• 🟡【標準】ユークリッドの互除法の原理
• 🔴【発展】ユークリッドの互除法の計算回数とフィボナッチ数列
• 🔴【発展】ユークリッドの互除法と連分数

不定一次方程式の整数解

• ⚫【導入】不定一次方程式の整数解
• ⚪【基本】不定一次方程式の整数解 ax+by=0の場合
• 🟡【標準】不定一次方程式の整数解 ax+by=cの場合
• 🔵【応用】不定一次方程式 係数が大きい場合

n進法

• ⚪【基本】n進法
• ⚪【基本】n進法への変換（整数）
• ⚪【基本】n進法の小数