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【標準】三角形の外心・内心と角

ここでは、外心・内心の性質を使って角度を求める問題を見ていきます。

📘 目次

外心と角

例題1
以下の図で、点 $\mathrm{O}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心です。角 $\alpha$ の大きさを求めなさい。

【基本】三角形の外心でも見た通り、外心とは外接円の中心のことであり、各辺の垂直二等分線が交わる点のことです。外接円とは、3つの頂点を通る円のことでした。

これを踏まえると、一般的には

・外心と各頂点を結ぶ
⇒線分が半径であることを使えるようになる
・外心から各辺に垂線をおろす
⇒垂線が各辺の中点を通ることを使えるようになる
・各頂点を通る円をかく
⇒円の性質が使えるようになる
などを行うことで、考えやすくなります。

ここでは、外心と頂点を結び、円を追加しました。

このようにすれば、 $\mathrm{OA, OB, OC}$ は半径なので、$\triangle \mathrm{OAB}$, $\triangle \mathrm{OAC}$ は二等辺三角形です。なので、
\begin{eqnarray} \angle \mathrm{BAC} &=& \angle \mathrm{BAO}+\angle \mathrm{CAO} \\[5pt] &=& \angle \mathrm{ABO}+\angle \mathrm{ACO} \\[5pt] &=& 40^{\circ} \end{eqnarray}とわかります。また、 $\angle \mathrm{BOC}$ は $\angle \mathrm{BAC}$ の中心角なので、\[ \angle \mathrm{BOC}=80^{\circ} \]となります。 $\triangle \mathrm{OBC}$ も二等辺三角形なので、\[ \alpha=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ} \]と求められます。

内心と角

例題2
以下の図で、点 $\mathrm{I}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心です。角 $\alpha$ の大きさを求めなさい。

【基本】三角形の内心でも見た通り、内心とは内接円の中心のことであり、3つの角の二等分線が交わる点のことです。内接円とは、3つの辺に接する円のことでした。

これを踏まえると、一般的には

・内心と各頂点を結ぶ
⇒線分が角の二等分線であることを使えるようになる
・内心から各辺に垂線をおろす
⇒垂線の長さが等しいことを使えるようになる
・3つの辺に接する円をかく
⇒円や接線の性質が使えるようになる
などを行うことで、考えやすくなります。

ただ、今の問題では、新しく線分や円を追加しなくても解くことができます。もともとある $\mathrm{IB, IC}$ が角の二等分線になっていることを使います。

$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}$ はもちろん $180^{\circ}$ です。このことから、 $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}$ の半分の角を足したものは\[ \frac{\angle \mathrm{B}+ \angle \mathrm{C}}{2}=\frac{180^{\circ} -\angle \mathrm{A}}{2}=48^{\circ} \]となります。 $\angle \mathrm{B}$ や $\angle \mathrm{C}$ の半分の値を直接求めることはできませんが、今の場合、和がわかればいいんですね。これを使うと、
\begin{eqnarray} \alpha &=& 180^{\circ}-(\angle \mathrm{IBC}+\angle \mathrm{ICB}) \\[5pt] &=& 180^{\circ}-48^{\circ} \\[5pt] &=& 132^{\circ} \end{eqnarray}と求められます。

おわりに

ここでは、三角形の外心や内心の性質を使って、角を求める問題をみました。性質を使うために補助線を引いたり円を追加することもあります。

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