【基本】n進法への変換（整数）

🕒 2018/08/09 🔄 2023/05/01

ここでは、10進法で表された整数を $n$ 進法で表す方法を見ていきます。

📘 目次

10進法への変換

【基本】n進法で見たように、 $n$ 進法とは、 $n^k$ の位を用いた数字の表し方です。2進法で $1011_{(2)}$ と表された数は、10進法では\[ 1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0 \]のことで、計算すると11だとわかります。

10進法へ変換する場合は、このように、各位の数字と $n^k$ とを掛け、それらを足し合わせれば求めることができます。もう一つ、7進数で例を挙げると、 $123_{(7)}$ は、10進法で表すと\[ 1\times 7^2+2\times 7^1+3\times 7^0=66 \]となります。

10進法への変換は、まだわかりやすいですが、逆への変換は少し難しいです。次で見ていきましょう。

n進法への変換

今度は逆に、11を2進数で表すことを考えてみましょう。まず1つパッと思いつくものは、1から順番に書いていく方法でしょう。2進数で数字を順番に書いていくと、 1,10,11,100,101,… となっていくので、11 は $1011_{(2)}$ と書けることがわかります。しかし、これだと数が大きくなるととても面倒になります。

もう少し簡単な方法でないと厳しいですね。そこで、もう一度、使い慣れた10進法での数字を見直してみることにしましょう。

10進法で書かれた、5678 という数について考えます。この一の位は 8 ですが、8を求めるにはどうすればいいかというと、10で割った余りを求めればいいですね。

次に、十の位の 7 はどうすれば求められるでしょうか。先ほどと同じ感覚で100で割っても、うまくはいきません。これは、10で割ったときの商を、もう一度10で割って余りを求めればいいですね。

百の位の 6 は、さきほどの商を、もう一度10で割って余りを求めればいいですね。千の位の 5 は、同じ流れで考えると、1000で割ったときの商を、もう一度10で割った余りとなります。

つまり、

10で割る
余りを一番下の位に書く
商を10で割る
余りを次の位に書く
商を10で割る
余りを次の位に書く
…

この繰り返しで、求められます。10進法以外の場合も、同じようにやってみましょう。

11を2進法で書くことを考えてみます。2で割ると、余りは1で商は5です。なので、一番右の位に1を書きます。次に、商5を2で割ると、余りは1で商は2です。なので、その左に1と書きます。商2を2で割ると、余りは0で商は1です。よって、左に0と書き、その左に0と書けば、\[ 1011_{(2)} \]となります。実際、これを10進法に戻すとあっていることがわかりますね。

手順はこれでよさそうですが、これは具体的に何をやっているのでしょうか。もう少し詳しく見ていきましょう。

2進法というのは、 $2^k$ の位で考えるのでした。そのため、 $11\lt 2^4$ であることを踏まえると、2進法で表した場合の桁数は、最大でも4であることがわかります。なので、 $abcd_{(2)}$ と書けたとする（ $a,b,c,d$ は0か1 ）と、\[ 11=a\times 2^3+b\times 2^2+c\times 2^1+d\times 2^0 \]が10進法の世界で成り立つことになります。

この右辺で、2で割った余りを考えると、 $2^3$ から $2^1$ までは2の倍数なので、 $d$ だけが残ることになります。なので、この余りを、一番右の桁に書けばいいんですね。次に、 $2^1$ の位についてですが、右辺を2で割ったときの商は、 $d$ 以外の部分を除いて実際に2で割ると\[ a\times 2^2+b\times 2^1+c\times 2^0 \]となります。なので、2で割った余りは $c$ となり、これを $d$ の左の桁に書けばいいことがわかります。後は同じ流れです。これを2で割ったときの商は\[ a\times 2^1+b\times 2^0 \]となり、さらに2で割ったときの余りが $b$ で、商が $a$ となります。

この計算で出てくる「 $2^k$ で割ったときの商」は、 $2^k$ 以上の項だけを考えることになります。これを $2$ で割った余りを考えれば、 $2^k$ の係数だけが残る、という仕組みになっています。

このことを、次のような計算で求める人もいます。
\begin{eqnarray} & & 2 \underline{ ) 11 } \\ & & 2 \underline{ ) \ 5 } \cdots 1 \\ & & 2 \underline{ ) \ 2 } \cdots 1 \\ & & 2 \underline{ ) \ 1 } \cdots 0 \\ & & \quad \ 0 \cdots 1 \\ \end{eqnarray}まず1行目に11を書いて、それを2で割ったときの商と余りをその下に書きます。以下、割れなくなるまで繰り返します。一番上の余りが一番右の位に来て、一番下の余りが一番左の位にきます。なので、余りの部分（…の後の数字）を下から順番に並べて $1011_{(2)}$ と書く、ということです。

2進法で見てみましたが、底が他の場合でも同じです。例えば、66 を7進法で表したい場合、66を7で割った余りが 3 なので、 $7^0$ の位は3、この商9をもう一度7で割ると余りが2なので、 $7^1$ の位は2で、商が1だから $7^2$ の位は1となり、\[ 66=123_{(7)} \]となることがわかります。