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【基本】方べきの定理(2本の弦)

ここでは、円の2つの弦に関する、方べきの定理について見ていきます。

📘 目次

方べきの定理その1

円にはいい性質がいろいろあるので、等しい角や相似な図形が見つかりやすくなります。

例えば、次のような、2つの弦 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ が、円の内部で交わるとしましょう。交点を $\mathrm{P}$ とおきます。

このとき、 $\triangle\mathrm{PAC}$ と $\triangle \mathrm{PDB}$ について考えてみます。円周角の定理から、次の2つが成り立ちます。
\begin{eqnarray} \angle \mathrm{ACP} &=& \angle \mathrm{DBP} \\[5pt] \angle \mathrm{CAP} &=& \angle \mathrm{BDP} \\[5pt] \end{eqnarray}

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle\mathrm{PAC}$ ∽ $\triangle \mathrm{PDB}$ です。このことから、 $\mathrm{PA}:\mathrm{PC}=\mathrm{PD}:\mathrm{PB}$ となるので\[ \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} = \mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD} \]が成り立ちます。

この等式が成り立つことを、方べきの定理(power of a point theorem) といいます。

方べきの定理その2

先ほど、方べきの定理について見ましたが、実は2つの弦の交点が円の外にあるときにも同じ式が成り立ちます。

次のような、2つの弦 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ があって、これらの弦を含む直線が円の外部で交わるとしましょう。交点を $\mathrm{P}$ とおきます。

今度は使う定理は違いますが、先ほどと同じように角が等しいことがわかります。 $\triangle\mathrm{PAC}$ と $\triangle \mathrm{PDB}$ において、四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接することから、次の2つが成り立ちます。
\begin{eqnarray} \angle \mathrm{ACP} &=& \angle \mathrm{DBP} \\[5pt] \angle \mathrm{CAP} &=& \angle \mathrm{BDP} \\[5pt] \end{eqnarray}

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle\mathrm{PAC}$ ∽ $\triangle \mathrm{PDB}$ となるので\[ \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} = \mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD} \]が成り立ちます。

この内容も方べきの定理といいます。

まとめると、次のようになります。

方べきの定理
円の2つの弦 $\mathrm{AB,CD}$ に対し、直線 $\mathrm{AB,CD}$ が円周上にない点 $\mathrm{P}$ で交わるとする。このとき、以下が成り立つ。\[ \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} = \mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD} \]

これを利用して例題を解いてみましょう。

例題

例題
次の図で、 $\mathrm{AB}=4$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{AD}=5$ です。$\mathrm{DE}$ の長さを求めなさい。

2つの弦 $\mathrm{BC, DE}$ を延長したものが点 $\mathrm{A}$ で交わっている、という状況なので、方べきの定理が使えます。どういう等式が成り立つのか、対応をよく見て間違えないようにしましょう。今の場合は、次の式が成り立ちます。\[ \mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC} = \mathrm{AD}\cdot\mathrm{AE} \]わかっている条件から、 $\mathrm{AB}=4$, $\mathrm{AC}=4+8=12$, $\mathrm{AD}=5$ なので、
\begin{eqnarray} 4\cdot12 &=& 5\cdot \mathrm{AE} \\[5pt] \mathrm{AE} &=& \frac{48}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。求めるのは $\mathrm{DE}$ なので、\[ \mathrm{DE}=\frac{48}{5}-5=\frac{23}{5} \]が答えとなります。

この問題で、 $\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}$ と $\mathrm{AD}\cdot\mathrm{DE}$ が等しい、とやってしまう間違いが多いです。方べきの定理で出てくる線分は、片方の端点は弦の交点(今の場合は $\mathrm{A}$ のこと)です。間違えないようにしましょう。

わからなくなってしまったら、円に内接する四角形を作った証明を思い出しましょう。

おわりに

ここでは方べきの定理について見てきました。弦が交わるだけで使えるので、使える場面は多そうです。交点が円の外にあるときは、どの線分を使うのか間違えやすいので注意しましょう。

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