【標準】反対側を数える

🕒 2017/01/09 🔄 2023/05/01

ここでは、場合の数を求めるときによく使う「反対側を数える」方法を見ていきます。

📘 目次

2つのさいころをふる

今後、場合の数や確率の問題を解いていくと、さいころをふる場面がたくさん出てきます。ということで、ここでもさいころをふる問題を取り上げてみます。

「大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が偶数になるのは何通りか」という問題を考えてみましょう。

この問題に取り掛かる前に、練習として、出た目の組み合わせが全部で何通りあるかを考えてみましょう。大きいサイコロの目の出かたは6通りで、それぞれに対して小さいサイコロの目の出かたも6通りあります。頭の中で、次のような樹形図をイメージしましょう。

これから、すべての組み合わせは\[ 6\times6=36 \]通りとなります。

さて、これを踏まえて「出た目の積が偶数になる場合」を考えてみます。以下では、あえて間違ったやり方を書いてみますので、どこが間違っているか考えながら以下の文章を読んでみましょう。

これはどうやって考えればいいでしょうか。「出た目の積が偶数」ということは、「偶数×〇の形になっているときだ」と考えてみるとどうでしょう。「2×〇」「4×〇」「6×〇」の3パターンありますね。しかも、「2×〇」は、大サイコロが2の場合である「2×〇」でもいいし、小サイコロが2の場合である「〇×2」でもいいので、それぞれ2パターンあります。〇は何でもいいので6通りですね。ということは、\[ 3\times2\times6=36 \]通りとなります。あれ？　上で求めたようにすべての組み合わせが36通りなので、これだと常に「出た目の積が偶数」となってしまいます。そんな馬鹿な。「1×1」のような例外があるのに。

結果からわかる通り、この考え方は間違っているのですが、どこが間違っているでしょうか。

どこが間違っていたんだろう

上の解き方は、どこが間違っていたのでしょうか。

「出た目の積が偶数」というのを「偶数×〇の形になっているときだ」と考えたのは、間違いではありません。「2×〇」「4×〇」「6×〇」の3パターンだ、というのも、間違っていません。

しかし、次に「2×〇と〇×2があるから2通り」と考えているところがまずいです。確かに、「2×1」と「1×2」（つまり、大2小1と大1小2）であれば、2通りと数えて構いません。しかし、「2×2」はどうでしょうか。「2×〇と〇×2があるから2通り」と数えてしまうと、ダブって数えてしまうことになるんですね。

「2×〇と〇×2」と書くと「異なる2つのもの」という感じがしてしまいます。しかし、〇=2の場合は同じケースになるので、2通りではなく1通りとしてカウントしないといけません。「4×4」「6×6」も同様です。

さらに、「2×〇の〇は何でもいいので6通り」と考えましたが、これも間違いです。「2×4」を考えてみましょう。これは「2×〇」のところでも「〇×4」のところでも数えられることになります。つまり、これもダブって数えていることになります。

ちゃんと分けて考えていたつもりでも、よく考えるとダブって数えてしまっていることもあるんですね。

なお、この間違った考えの根本は、
　奇数×奇数
　奇数×偶数
　偶数×奇数
　偶数×偶数
の4パターンがあるのに、
　偶数×整数
　奇数×整数
という2パターンで突っ走ってしまったことにあります。その結果、「偶数×偶数」を2回ダブって数えてしまうことになってしまいました。

例題を正しく解いてみよう

さて、例題「大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が偶数になるのは何通りか」を正しく解いてみましょう。

きちんと場合分けができるように、大サイコロの目に応じて考えてみましょう。大サイコロの目が奇数か偶数かで分けてみます。

大サイコロが奇数のとき、積が偶数になるのは小サイコロが偶数のときです。大サイコロの目の出かたは3通り、小サイコロの目の出方も3通りなので\[ 3\times3=9 \]通りです。

大サイコロが偶数のときは、小サイコロの目が何であっても積は偶数になります。大サイコロの目の出かたは3通り、小サイコロの目の出方は6通りなので\[ 3\times6=18 \]通りです。

この2つにはダブりがないので、これを合わせたものが答えです。答えは\[ 9+18=27 \]通り、と求められます。

反対側を数える

上のように例題を解いてもいいのですが、「積が偶数になる」問題は、「反対側を数える」方が楽になることがあります。

「積が偶数になる」というのは、わりと自由度の高い条件なんですね。掛け合わせるものの中に偶数が一つでもあればいいわけです。自由度が高いといろんなケースがあって、「数えにくい」ことが多いんです。数えにくいということは、数え間違いが起きやすいということです。

しかし、この反対側、つまり、「積が奇数になる」というのは、自由度が低いんですね。掛け合わせるものがすべて奇数でないといけないからです。こういう自由度が低いものは、数えやすいんですね。

自由度が高いものを数える場合は、「全体から『そうじゃない』ものを引く」というやり方で、すんなり解けることがあります。

この例題でいうと、すべての目の出かたは、 $6\times6=36$ 通りでした。「積が偶数でない場合」つまり「積が奇数の場合」というのは、大サイコロも小サイコロも奇数の目が出るときです。それぞれ3通りなので、 $3\times3=9$ 通りです。よって答えは\[ 36-9=27 \]通りです。当たり前ですが、上で求めた答えと同じですね。

この例題では2つのサイコロでしたが、「3つのサイコロの目の積が偶数のとき」を考えると、だいぶ計算が楽になることがわかるでしょう。