【標準】不定積分(置換積分と部分積分の組合せ)

ここでは、置換積分と部分積分の両方を行って不定積分を計算する問題を見ていきます。なお、 $C$ は積分定数を表します。

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置換積分と部分積分を組み合わせて解く不定積分

例題
次の不定積分を計算しなさい。\[ \int e^{\sqrt{x}}dx \]

パッと見た感じ、 $\sqrt{x}$ がめんどくさそうな感じがしますね。なので、 $t=\sqrt{x}$ と置いて考えましょう。【基本】不定積分の置換積分(dxを置き換え)で見たように、被積分関数だけでなく、 $dx$ も置き換えないといけません。 $t=\sqrt{x}$ なので、 $x=t^2$ となります。この右辺を微分すると $2t$ なので、 $dx$ を $2tdt$ に置き換えればいいですね。よって、この不定積分は
\begin{eqnarray}
& &
\int e^{\sqrt{x}}dx \\[5pt] &=&
\int e^t \cdot 2tdt \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

この被積分関数を見ると、 $2t$ は微分すると定数となる一方、 $e^t$ の積分は計算できるので、部分積分を使って計算することができることがわかります。これにより、
\begin{eqnarray}
& &
2\int te^t dt \\[5pt] &=&
2te^t-2\int e^t dt \\[5pt] &=&
2te^t-2e^t+C \\[5pt] &=&
2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C \\[5pt] \end{eqnarray}と計算することができます。これが答えです。

前半の置換積分は、次のように計算してもいいでしょう。同じ置き方ですが、文字を変えて、 $u=\sqrt{x}$ と置いて考えましょう。被積分関数はすぐに置き換えられますが、【基本】不定積分の置換積分(微分ごと置き換え)で見たように、 $dx$ の部分も置き換えないといけません。 $u=\sqrt{x}$ の右辺を $x$ で微分すると
\begin{eqnarray}
(\sqrt{x})’
&=&
\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、置換積分を行うときには、 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$ を $du$ に置き換えればいいですね。 $2\sqrt{x}$ が無理やり出てくるように変形すると、
\begin{eqnarray}
& &
\int e^{\sqrt{x}} dx \\[5pt] &=&
\int e^{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \\[5pt] &=&
\int e^u \cdot 2u du \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\sqrt{x}$ を置き換えたので同じ形になるのは当たり前ですが、このように変形することもできます。後半の部分積分は同じです。

おわりに

ここでは、置換積分と部分積分を組み合わせて不定積分を計算する問題を見てきました。できる計算の種類が増えて大変ですが、順番にマスターしていきましょう。