【標準】logの不定積分(部分積分)

ここでは、 $\log$ を含む不定積分のうち、工夫すれば計算が少し簡単になる例を見ていきます。。なお、 $C$ は積分定数を表します。

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logを含む不定積分

例題
次の不定積分を計算しなさい。\[ \int \log(x+1) dx \]

$\log x$ の不定積分は、【基本】logの不定積分(部分積分)で見ました。部分積分の式\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]で、 $f(x)=\log x$, $g(x)=x$ と置けば、左辺には $\log x$ の不定積分があらわれ、右辺の積分の被積分関数は $1$ となり、不定積分が計算できるのでした。

この例題では、 $\log (x+1)$ なので、一つの方法としては、【標準】不定積分(置換積分と部分積分の組合せ)で見たように、置換積分をしてから部分積分を行う方法があります。つまり、 $x=t-1$ とおいて\[ \int\log t dt \]を計算する、という方法です。

もちろんこの方法でも計算できるのですが、今の場合は、もっと単純に考えることができます。 $\log x$ の不定積分では、部分積分の式の右辺がうまく計算できるようになるので、部分積分を使ったのでしたね。この例題でも、うまくいくように、 $g(x)$ を選ぶことにしましょう。

\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]の式で、 $f(x)=\log(x+1)$ とすると、右辺の被積分関数に現れる $f'(x)$ は $\dfrac{1}{x+1}$ となります。また、左辺を見ると、 $g'(x)=1$ となります。 $\log x$ の部分積分では、 $g(x)=x$ と置きましたが、今の場合は、こう置いてしまうと、右辺の被積分関数が $\dfrac{x}{x+1}$ となってしまいます。

この積分も計算できるのですが、もっとうまく $g(x)$ を選ぶ方法があります。左辺から出てくる $g'(x)=1$ という条件を満たし、右辺に出てくる $\dfrac{g(x)}{x+1}$ が簡単に積分できるような $g(x)$ を考えてみましょう。そうすると、 $g(x)=x$ ではなく、 $g(x)=x+1$ と置けばいいことがわかるでしょう。こうすれば、右辺の積分は簡単になります。

以上から、次のように部分積分を使って、不定積分を計算することができます。
\begin{eqnarray}
& &
\int \log(x+1) dx \\[5pt] &=&
\int (x+1)’ \log(x+1) dx \\[5pt] &=&
(x+1)\log(x+1) -\int (x+1)\cdot\frac{1}{x+1} dx \\[5pt] &=&
(x+1)\log(x+1) -\int dx \\[5pt] &=&
(x+1)\log(x+1) -x+C
\end{eqnarray}置換積分をしなくても、部分積分を一回するだけで、不定積分を求めることができます。

なぜ定数部分は自由に選べるのか

部分積分の式\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]に出てくる $g(x)$ は、定数部分を自由に選ぶことができます。先ほどは、 $g'(x)=1$ となるものとして、 $g(x)=x$ ではなく、 $g(x)=x+1$ と置いて、計算しやすくなるように選びましたね。

そもそも、なぜ $g(x)$ の定数部分を自由に選べるのでしょうか。それは、部分積分がなぜ行えるのか、を考えてみるとわかるでしょう。

【基本】不定積分の部分積分で見たように、部分積分は、積の微分の公式から導かれていました。\[ (f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]が成り立つので、これを移行して\[ f(x)g'(x)=(f(x)g(x))’-f'(x)g(x) \]も成り立ち、両辺の不定積分を考えてみると、部分積分の式が導かれます。

ここで、 $g_1(x)=g(x)+c$ としてみましょう。 $c$ は定数とします。このとき、積の微分は
\begin{eqnarray}
& &
(f(x)g_1(x))’ \\[5pt] &=&
(f(x)g(x)+cf(x))’ \\[5pt] &=&
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)+cf'(x) \\[5pt] &=&
f'(x)(g(x)+c)+f(x)g'(x) \\[5pt] &=&
f'(x)g_1(x)+f(x)g'(x) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、\[ f(x)g'(x)=(f(x)g_1(x))’-f'(x)g_1(x) \]が成り立ちます。このことから、部分積分の左辺は同じで、右辺の $g(x)$ の部分は、 $g(x)+c$ に置き換えても成り立つことがわかります。つまり、 $g(x)$ の定数部分は、好きな値を選んでいいということなんですね。

おわりに

ここでは、部分積分でうまく関数を選んで、 $\log$ を含む不定積分の計算を少しだけ簡単にする方法を見ました。定数部分をうまく選ぶことで計算しやすくなる場面は多くないですが、不要な置換積分が減らせることがあるので、覚えておきましょう。