【基本】不定積分の部分積分

ここでは、不定積分の計算方法の1つである、部分積分について見ていきます。なお、 $C$ は積分定数を表します。

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積の微分と部分積分

【基本】不定積分の復習で見たように、関数 $f(x)$ に対して、「微分すると $f(x)$ になる関数」を不定積分と呼び、\[ \int f(x) dx \]と表すのでした。

「微分すると $f(x)$ になる関数」がすぐにわかるものであれば問題はないのですが、そのような関数がいつもすぐに見つかるとは限りません。微分のときとは違って、 $f(x)$ の形によっては、不定積分が求められなかったり、直接求めるのが難しいこともあります。

そのような不定積分を計算するための手法として、【基本】不定積分の置換積分(dxを置き換え)以降で見た、置換積分を使う方法があります。変数を置き換えることで、計算しやすくなったり、直接計算できなかった不定積分が計算できるようになる例を見てきました。

直接求めるのが難しい不定積分を計算するための手法として、もう一つ、部分積分(partial integration) というものがあります。これは、積の微分を利用した手法です。

$f(x)g(x)$ を微分すると、【基本】積の微分で見たように、\[ (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]が成り立ちます。これを変形すれば、\[ f(x)g'(x)=(f(x)g(x))’ -f'(x)g(x) \]が得られます。

ここで、両辺の不定積分を考えてみましょう。微分して $(f(x)g(x))’$ になるもの、というのは、 $f(x)g(x)+C$ です(言葉遊びみたいですが)。式の使い方は後で説明しますが、先ほどの式の両辺の不定積分を考えると、次が成り立つことがわかるでしょう。

部分積分
\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]

両辺に不定積分がある等式では、両辺の積分定数があうように調整すると考え、積分定数は省略します。

この部分積分の式で、左辺の $g'(x)$ だった部分が右辺の不定積分では $g(x)$ になっており、 $f(x)$ は逆に $f'(x)$ になっています。このように変形するだけで、計算できる不定積分はグッと増えます。以下で、部分積分を使った計算例を見ていきましょう。

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部分積分を使った計算

例題
次の不定積分を計算しなさい。
\begin{eqnarray}
& & (1) \int x\cos x dx \\[5pt] & & (2) \int x\log x dx \\[5pt] \end{eqnarray}

微分して $x\cos x$ になるものを探すのは難しいですね。また、置換積分を用いても、 $x$, $\cos x$ の両方をうまく置き換えることは難しいです。

ただ、ここで注目すべきなのは、 $x$ は微分すると $1$ になってしまう、ということです。部分積分の式をもう一度見ると\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]でした。ここで、 $f(x)=x$, $g'(x)=\cos x$ と考えれば、右辺の $f'(x)$ は $1$ となり、右辺の計算は簡単になることがわかります。

よって、 $f(x)=x$, $g(x)=\sin x$ として部分積分を計算すれば
\begin{eqnarray}
& &
\int x\cos x dx \\[5pt] &=&
x\sin x-\int 1\cdot \sin x dx \\[5pt] &=&
x\sin x +\cos x +C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式を微分してみると\[ \sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x \]となり、たしかに微分すると $x\cos x$ となります。

不定積分を直接思いつくのは難しいでしょう。部分積分の威力がわかりますね。

(2)の被積分関数は $x\log x$ ですが、この場合は、どのように部分積分を使えばいいでしょうか。\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]をよくてみると、先ほどの方法を真似て $f(x)=x$ としてしまってはいけないことがわかります。なぜなら、そうすると $g'(x)=\log x$ となってしまいますが、「微分して $\log x$ になるもの」はすぐにはわかりません。将来的には知ることになるのですが、今の時点ではまだわかりません。

ただ、 $\log x$ を微分すれば $\dfrac{1}{x}$ になりますね。こうなれば、右辺の計算がしやすくなります。つまり、今回は、 $f(x)=\log x$, $g'(x)=x$ と置いて、部分積分をすることになります。
\begin{eqnarray}
& &
\int x\log x dx \\[5pt] &=&
\frac{x^2}{2}\cdot\log x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x} dx \\[5pt] &=&
\frac{x^2\log x}{2} -\int \frac{x}{2} dx \\[5pt] &=&
\frac{x^2\log x}{2} -\frac{x^2}{4} +C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

部分積分は、後の計算がやりやすくなるように変形しなくてはいけません。左辺では $f(x)g'(x)$ が、右辺では $f'(x)g(x)$ が出てきますが、どちらを微分してどちらを積分すればいいか、つまり、どちらが $f(x)$ でどちらが $g(x)$ と考えるか、が重要です。

上の例題では、 $f(x)=x$ と置く場合と $g(x)=x$ と置く場合を見ましたが、「この関数は $f(x)$ とおく」「この関数は $g(x)$ とおく」とは決まっていません。ある程度のパターンはありますが、基本的には、問題に応じて考えていく必要があります。

おわりに

ここでは、不定積分を計算するときに、部分積分を用いて計算する方法について見てきました。不定積分が直接求められないようなものでも計算できるようになることが増えるので、できるようになっておきましょう。