【基本】不定積分の復習

ここでは、昔学んだ不定積分のことを振り返りながら、内容をまとめていきます。

【広告】

不定積分の復習

高校数学では、微分が2回出てきます。1回目は、主に三次関数を扱い、2回目は、もっと幅広い関数(三角関数とか指数関数とか)を扱います。

積分も2回出てきます。1回目は、【基本】不定積分以降で見たように、主に二次関数の積分を扱いました。2回目は、もっと幅広い関数について見ていきます。

そもそも積分とは何だったかを復習しましょう。関数 $f(x)$ に対して、微分すると $f(x)$ になる関数を、 $f(x)$ の不定積分(indefinite integral) といいます。不定積分は、原始関数(primitive function) ということもあります。

不定積分は、\[ \int f(x) dx \]と表します。

不定積分
関数 $f(x)$ に対して、微分すると $f(x)$ になる関数を、 $f(x)$ の不定積分と言い、\[ \int f(x) dx \]で表す。

この $f(x)$ を被積分関数といいます。 $dx$ の部分が、何の変数で積分しているかを表しており、この $x$ のことを積分変数といいます。

なお、不定積分は、一般的に無数にあります。例えば、 $x^3$ を微分すると $3x^2$ となるので、 $3x^2$ の不定積分は $x^3$ と言いたくなりますが、 $x^3+1$ や $x^3-\pi$ だって、微分すると $3x^2$ になります。定数の部分だけが違うものは、すべて該当することになります。

そのため、不定積分を関数の形で表す場合は、この定数部分を $C$ などとおいて、\[ \int 3x^2 dx=x^3+C \]と表します。この定数 $C$ のことを、積分定数といいます。

「不定積分を求めなさい」と言われたら、この積分定数を付け加えて答えます。

ざっくりいってしまえば、積分は微分の逆です。 $x^n$ だけの世界であればまだ計算は複雑ではなかったですが、対象の関数が増えてしまうと、微分と積分がごっちゃになってしまいがちです。どっちの計算をしてるのか、はじめのうちはよく注意しましょう。

【広告】

積分ってなんでやるんだっけ

微分とは、ざっくりいうと、 $x$ をちょっと動かしたときに、関数がどれくらいの割合で動くか、を表したものと言えます。この符号を調べることで、関数の値が増えるのか減るのかがわかり、極大・極小や、グラフの概形がわかったりするのでした。

積分は、「微分の逆だ」と上で書きましたが、それだけだと、「なんでやるんだっけ?」となってしまいますね。積分を学ぶ一つの動機は、面積を求めることです。以前、積分を学んだときに、【基本】面積と整式の不定積分で見たように、面積を不定積分や定積分で表すことができる、という話をしました。直線と放物線で囲まれた領域の面積などを求めてきましたね。

今後、積分を学ぶことで、いろいろな領域の面積を計算することができるようになります。また、体積や長さも求められるようになります。すると、その流れで、「なぜ円錐の体積の公式に $\dfrac{1}{3}$ が出てくるのか」とか、「なぜ球の体積は $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ なのか」といったことが、突然わかるようになったりします。これらがわかるのは少し先ですが、楽しみにしておきましょう。

不定積分の基本性質

【基本】整式の不定積分で見たように、不定積分の計算について、次のことが成り立ちます。

不定積分の性質
k を定数とする。このとき、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
& & \int \{f(x)+g(x)\} dx = \int f(x) dx +\int g(x) dx \\
& & \int kf(x) dx = k\int f(x) dx
\end{eqnarray}

リンク先では「整式」に限定していましたが、一般的な関数でも成り立ちます。

例えば、1つ目の式は、左辺を微分すると $f(x)+g(x)$ になります(不定積分の定義そのままです)。右辺を微分すると、【基本】和や定数倍の微分で見たように、「和の微分は、微分の和」なので、それぞれを微分したものの和となります。よって、右辺の微分も $f(x)+g(x)$ となります。

実際には先ほど説明した「積分定数」だけズレているのですが、不定積分の等式では、両辺の積分定数を調整して一致するように定めている(つまり、不定積分の等式では、積分定数のズレはない)と考えます。

2つ目の定数倍の方も、両辺の微分を考えれば、成り立つことがわかるでしょう。

これらの性質があるおかげで、和や定数倍の積分は、分解して考えることができるようになります。

おわりに

ここでは、不定積分の復習をしました。今後は、いろいろな関数に対して、積分の計算をしていきます。