【基本】定積分の部分積分

ここでは、定積分の部分積分がどうやって導かれるか、を見ていきます。

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定積分の部分積分

不定積分の置換積分に対して、定積分の置換積分があったように、不定積分の部分積分に対しても、定積分の部分積分というものがあります。不定積分のときの内容を振り返りながら見ていきましょう。

不定積分の部分積分は、積の微分から導かれるのでしたね。\[ (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]が成り立つので、これを変形すれば、\[ f(x)g'(x)=(f(x)g(x))’ -f'(x)g(x) \]が得られます。ここで、両辺の不定積分ではなく、 $a$ から $b$ までの定積分を考えてみましょう。右辺の1つ目の項は、不定積分が $f(x)g(x)$ となるので、次のように書けることがわかります。
\begin{eqnarray}
& &
\int_a^b f(x)g'(x)dx \\[5pt] &=&
\int_a^b (f(x)g(x))’ dx -\int_a^b f'(x)g(x) dx \\[5pt] &=&
\Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b -\int_a^b f'(x)g(x) dx \\[5pt] \end{eqnarray}これが、部分積分の定積分バージョンです。

定積分の部分積分
\[ \int_a^b f(x)g'(x)dx= \Big[ f(x)g(x) \Big]_a^b -\int_a^b f'(x)g(x) dx \]

この式だけを見ていてもあまりよくわからないので、具体的な計算例を見てみましょう。

部分積分を使った定積分の計算その1

例題1
次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^{\pi} x \sin x dx \]

直接不定積分を求めることが難しく、置換積分も難しそうな場合に、部分積分が使えることがあります。被積分関数が2つの関数の積になっていて、片方は微分すると消え、もう片方は不定積分がわかる、そういう状況になっていれば、部分積分が使えます。

今の場合、 $x$ は微分すると $1$ になります。また、 $\sin x$ の不定積分は $-\cos x$ なので、部分積分が使えそうですね。置換積分とは異なり、積分区間はいじる必要はありません。部分積分は、次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\pi} x \sin x dx \\[5pt] &=&
\int_0^{\pi} x (-\cos x)’ dx \\[5pt] &=&
\Big[ x\cdot (-\cos x) \Big]_0^{\pi} -\int_0^{\pi} x’ \cdot (-\cos x) dx \\[5pt] &=&
\Big[ -x\cos x \Big]_0^{\pi} +\int_0^{\pi} \cos x dx \\[5pt] &=&
-\pi\cdot(-1) +\Big[ \sin x \Big]_0^{\pi} \\[5pt] &=&
\pi \\[5pt] \end{eqnarray}これが答えです。

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部分積分を使った定積分の計算その2

例題2
次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^1 x e^x dx \]

今の場合、 $x$ は微分すると $1$ になります。また、 $e^x$ の不定積分は $e^x$ なので、ここでも部分積分が使えそうですね。結果は、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 x e^x dx \\[5pt] &=&
\Big[ x\cdot e^x \Big]_0^1 -\int_0^1 1 \cdot e^x dx \\[5pt] &=&
e -\Big[ e^x \Big]_0^1 \\[5pt] &=&
e-(e-1) \\[5pt] &=&
1
\end{eqnarray}これが答えです。

$x=a,x=b$ を代入して計算する箇所が2か所になるので計算が少し大変になりますが、それ以外は、不定積分のときと似たような計算になります。

おわりに

ここでは、定積分の部分積分について見てきました。成り立つ理由は、不定積分のときと同様、積の微分からわかります。計算は少し大変になりますが、まずは、どのように部分積分を適用すればいいか、わかるようになりましょう。