【基本】定積分の置換積分の基本的な計算

🕒 2018/11/30 🔄 2023/05/01

ここでは、定積分で置換積分を使う計算例を見ていきます。

📘 目次

定積分の置換積分の計算その１

例題1

次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^1 (2x+1)^2 dx \]

この問題は、置換積分を使わなくても、直接展開して計算することができます。まずは、そのまま計算してみましょう。
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 (2x+1)^2 dx \\[5pt] &=& \int_0^1 (4x^2+4x+1) dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{4}{3}x^3+2x^2+x \right]_0^1 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}+2+1 \\[5pt] &=& \frac{13}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

もちろんこれでもいいのですが、置換積分を用いると、被積分関数はもっとスッキリとします。今の場合、 $t=2x+1$ と置いて考えてみましょう。【基本】定積分の置換積分で見たように、 $dx$ の変換と積分区間の変換を行います。

まず、 $x=\dfrac{t-1}{2}$ なので、 $dx$ は $\dfrac{1}{2}dt$ に置き換えればいいですね。また、積分区間は、 $x=0,1$ を $t=2x+1$ に代入して
\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \cdots & 1 \\ \hline t & 1 & \cdots & 3 \\ \end{array}と対応することがわかります。置換積分を行う場合は、この対応表も書いておくとわかりやすくなります。

以上を踏まえて、置換積分を行うと
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 (2x+1)^2 dx \\[5pt] &=& \int_1^3 t^2 \cdot \frac{1}{2}dt \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_1^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{3^3-1^3}{3} \\[5pt] &=& \frac{13}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。先ほどと同じ答えになりましたね。

ここで、一つ、定積分と不定積分との違いに注目しましょう。

不定積分の場合は、置換積分を行った後、変数を元に戻していました。例えば、\[ \int (2x+1)^2 dx \]に対して、 $2x+1=t$ とおいて、先ほどと同じように置換積分をすると\[ \frac{t^3}{6}+C \]となります（ $C$ は積分定数）が、これで終わりではなく、 $x$ の式に戻して\[ \frac{(2x+1)^3}{6}+C \]と変形して答えにしました。問題文に $t$ などという文字はないので、これを残したまま答えるのではなく、もとの積分変数 $x$ の式にしたわけです。

一方で、定積分の場合は、 $2x+1=t$ とおいて $t$ についての不定積分を求めた後は、 $t$ の積分区間を用いて定積分が求められました。最後に $x$ の式に戻す必要はないんですね。

不定積分の場合は、別の文字で置いたとしても、最終的に元の文字の式に戻します。定積分の場合は、その必要はありません。なので、定積分の方が、別の文字で置くときの自由度が高いんですね。そのため、不定積分は求められない（または、求めるのがすごく難しい）けど、定積分は求められる、といったようなことも今後起きてきます。

定積分の置換積分の計算その２

例題2

次の定積分を計算しなさい。\[ \int_1^2 x\sqrt{2-x}dx \]

先ほどの例題とは異なり、この例題のようになると、そのまま計算することができません。これは、置換積分を使うしかないですね。

$t=\sqrt{2-x}$ と置いてみましょう。このとき、 $2-x=t^2$ だから、 $x=2-t^2$ ですね。なので、 $dx$ を $-2t dt$ に置き換えればいいですね。

被積分関数は、\[ x\sqrt{2-x}=(2-t^2)t \]となります。積分区間は、
\begin{array}{c|ccc} x & 1 & \cdots & 2 \\ \hline t & 1 & \cdots & 0 \\ \end{array}となります。

これらを踏まえて置換積分を行うと
\begin{eqnarray} & & \int_1^2 x\sqrt{2-x}dx \\[5pt] &=& \int_1^0 (2-t^2)t\cdot (-2t)dt \\[5pt] &=& \int_1^0 (2t^4-4t^2)dt \\[5pt] &=& \left[ \frac{2}{5}t^5-\frac{4}{3}t^3 \right]_1^0 \\[5pt] &=& -\frac{2}{5}+\frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{14}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが答えです。

途中に出てくる計算で、\[ \int_1^0 (2t^4-4t^2)dt \]というのが出てきますが、積分区間の下の方が大きいというのは、少し違和感があります（間違いではないですが）。これは、積分区間の両端を入れ替えて計算した方がいいでしょう。積分区間を入れ替えると、積分の値は $-1$ 倍される（参考：【基本】定積分の復習）ので、\[ \int_0^1 (-2t^4+4t^2)dt \]と変形できます。こちらの方が、計算しやすいと思います。