【基本】定積分の置換積分(三角関数や指数関数)

ここでは、置換積分を使った定積分のうち、三角関数や指数関数が絡んでいる基本的なものを取り上げます。

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定積分の置換積分(三角関数)

例題1
次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx \]

微分して $\sin^3 x$ になるものを探すのは難しいですね。 $u=\sin x$ などと置いて、計算したくなります。

このように $u=g(x)$ の形で置く場合は、【基本】不定積分の置換積分(微分ごと置き換え)で見たように、被積分関数の $g(x)$ を $u$ に置き換え、 $g'(x)dx$ を $du$ に置き換えることになります。また、【基本】定積分の置換積分で見たように、積分区間も置き換えることになります。つまり、\[ \int_{\alpha}^{\beta} f(g(x))g'(x) dx = \int_a^b f(u)du \]の形で置換積分を行うということです。このことを踏まえて考えていきましょう。

まず、 $g'(x)dx$ を $du$ に置き換える、という点から考えると、 $\sin x$ は何かを微分した後の形と考えたほうがいいでしょう。つまり、 $u=\sin x$ と置きたくなりますが、 $u=\cos x$ と置くことにします。こうすると、 $-\sin x dx$ を $du$ で置き換えることになります。また、被積分関数には $\sin^2 x$ が残りますが、 $1-\cos^2 x$ と変形できるので、 $u$ の関数で書けますね。

また、積分区間は、
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{2} \\
\hline
u & 1 & \cdots & 0 \\
\end{array}となります。

以上から
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x) (\cos x)’ dx \\[5pt] &=&
\int_1^0 (1-u^2)\cdot (-1) du \\[5pt] &=&
\int_0^1 (1-u^2) du \\[5pt] &=&
\left[ u-\frac{u^3}{3} \right]_0^1 \\[5pt] &=&
1-\frac{1}{3} \\[5pt] &=&
\frac{2}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}と計算できます。

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定積分の置換積分(指数関数)

例題2
次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^{\log 2} \frac{dx}{e^x+1} \]

微分して $\dfrac{1}{e^x+1}$ となる関数を考えるよりも、分母を別の文字で置いて考えたほうがいいでしょう。

$u=e^x+1$ としましょう。先ほどと同じように、\[ \int_{\alpha}^{\beta} f(g(x))g'(x) dx = \int_a^b f(u)du \]の形で置換積分を行います。

こうすると、 $u=e^x+1$ の右辺を微分すると $e^x$ なので、 $e^xdx$ を $du$ と置き換えることになります。ただ、被積分関数に $e^x$ がありません。こういう場合は、\[ \frac{1}{e^x+1}=\frac{1}{e^x(e^x+1)}\cdot e^x \]と変形すればいいですね。しかも、右辺の式は、 $u$ の式で置き換えることができます。

最後に、積分区間を考えましょう。 $u=e^x+1$ に $x=0,\log 2$ を入れると
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \cdots & \log 2 \\
\hline
u & 2 & \cdots & 3 \\
\end{array}となります。

以上から、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\log 2} \frac{dx}{e^x+1} \\[5pt] &=&
\int_0^{\log 2} \frac{1}{e^x(e^x+1)}\cdot e^x dx \\[5pt] &=&
\int_2^3 \frac{1}{(u-1)u} du \\[5pt] &=&
\int_2^3 \left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}\right) du \\[5pt] &=&
\Big[ \log|u-1|-\log|u| \Big]_2^3 \\[5pt] &=&
(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2) \\[5pt] &=&
\log \frac{4}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

ここでは、 $u=e^x+1$ と置きましたが、 $u=e^x$ と置いても同じように定積分を求めることができます。置き方は一通りとは限りませんが、答えは同じになります。

おわりに

ここでは、置換積分を使った定積分のうち、三角関数や指数関数が絡んでいるものを取り上げました。不定積分の計算で使った手法を応用していく(このページの例題では、相互関係を使う、部分分数に分解する、という手法を使っています)ので、復習しながら進んでいきましょう。