【応用】定積分の置換積分(三角関数:tanθを使う)

ここでは、定積分の置換積分で、 $\tan\theta$ を使って置換するものを見ていきます。

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tanを使った定積分の置換積分

【標準】定積分の置換積分(三角関数:cosθやsinθを使う)では、 $x=\cos \theta$ や $x=\sin\theta$ と置いて置換積分を行う方法を見ました。

$x=\sin\theta$ と置く場合は、被積分関数の $x$ を $\sin\theta$ と置き換えて、 $dx=\cos\theta d\theta$ と置き換え、積分区間も置き換えたときに、うまく計算できることがあります。特に、被積分関数に $\sqrt{1-x^2}$ が含まれている場合には、この部分は $\cos\theta$ に変わるので、三角関数の式で書き表すことができる場合があります。

この流れで、 $x=\tan\theta$ と置いて計算できる場合は、被積分関数がどのような形のときかを考えてみましょう。右辺を微分することで、置換積分を行う時には、 $dx$ を $\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$ に置き換えればいいことがわかります。ここで、被積分関数に $\cos^2\theta$ が出てくれば、きれいに $\cos^2\theta$ が消えます。\[ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} \]だったので、 $\cos^2\theta$ が被積分関数に出てくるということは、 $\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}$ が出てくるということです。つまり、 $\dfrac{1}{1+x^2}$ が出てくるときということですね。

これを踏まえて、次の定積分を考えてみましょう。

例題
次の定積分を計算しなさい。\[ \int_0^2 \frac{dx}{x^2+4} \]

この形を見て「 $\tan\theta$ を使った置換積分を行えばいい」と思いつくのは難しいです。先ほど見たように、 $\tan\theta$ を使って置き換えれば、被積分関数や $dx$ を置き換えた後の部分がうまく打ち消し合うのですが、事前に知っていないとなかなか難しいでしょう。

さて、 $\tan\theta$ を使うのですが、分母をよく見ると $x^2+4$ となっていますね。最終的にここは\[ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} \]であることを使うことを踏まえると、 $\tan^2\theta$ の係数と定数の部分は同じでないといけません。なので、そうなるように、 $x=\tan\theta$ ではなく、 $x=2\tan\theta$ と置かなくてはいけないことに注意しましょう。

こうすれば、被積分関数は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{x^2+4}
&=&
\frac{1}{4\tan^2\theta+4} \\[5pt] &=&
\frac{1}{4\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}} \\[5pt] &=&
\frac{\cos^2\theta}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。また、 $dx$ は $\dfrac{2d\theta}{\cos^2\theta}$ と置き換えることになります。積分区間は
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \cdots & 2 \\
\hline
\theta & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} \\
\end{array}となります。以上を踏まえて
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^2 \frac{dx}{x^2+4} \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2\theta}{4} \cdot \dfrac{2d\theta}{\cos^2\theta} \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} d\theta \\[5pt] &=&
\Big[ \frac{\theta}{2} \Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\[5pt] &=&
\frac{\pi}{8}
\end{eqnarray}となります。

おわりに

ここでは、被積分関数が $\dfrac{1}{a^2+x^2}$ を含む場合に、 $x=a\tan\theta$ とおいて置換積分を行い、定積分を求める問題を見ました。被積分関数の形から、「 $x=a\tan\theta$ とおけばいい」と思いつくのは難しいですが、 $\tan$ の微分と相互関係の式からうまく $\cos^2\theta$ が消えることを印象付けておきましょう。