【標準】定積分で表された関数を求める

🕒 2018/12/15 🔄 2023/05/01

ここでは、定積分で表された関数を求める問題を見ていきます。

📘 目次

定積分で表された関数を求めるその１

例題1

次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めなさい。\[ f(x)=e^x-\int_0^1 f(t)dt \]

あまり見慣れない式ですね。「右辺を計算すればいいのかな」と考えたくなりますが、よく見ると、右辺の中にも $f(t)$ があります。 $f$ を求めるのに $f$ を使ってる、ということは、単純に計算しようとしてもループしてしまいます。そのため、代入して計算していく方法では解けません。

ここで、この式のやっかいな部分、定積分のところをよく見てみましょう。 $f(t)$ を $0$ から $1$ まで積分しているわけですが、ここには $x$ の文字がありません。つまり、ここは、定数なんですね。そのため、\[ a=\int_0^1 f(t)dt \]と置いてみましょう。すると、もとの式は\[ f(x)=e^x-a \]となります。

定積分を文字で置いただけですが、このように変形すれば、 $a$ の値を求めればおしまいなんだということがわかりますね。 $a$ の定義式の右辺に $f$ の内容を代入すると、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 f(t) dt \\[5pt] &=& \int_0^1 (e^t-a) dt \\[5pt] &=& \Big[ e^t-at \Big]_0^1 \\[5pt] &=& (e^1-a)-(e^0-0) \\[5pt] &=& e-a-1 \end{eqnarray}これが $a$ と等しいのだから、\[ a=e-a-1 \]から $a=\dfrac{e-1}{2}$ であることがわかります。よって、\[ f(x)=e^x-\frac{e-1}{2} \]であることがわかります。

定積分のままだと考えづらいですが、別の文字で置いてしまえば、考えやすくなりますね。

定積分で表された関数を求めるその２

例題2

次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めなさい。\[ f(x)=1-\int_0^1 e^{t-x}f(t)dt \]

この例題でも、右辺に $f(t)$ があるので、 $f(x)$ の内容を右辺に代入してもうまくいきません。代入が無限に続いてしまいます。

かといって、右辺の定積分のところを定数で置くこともできません。 $e^{t-x}$ があるので、この定積分は $x$ の関数となっているからですね。先ほどとは違い、定数で置くことはできません。

この部分は、【標準】定積分で表された関数を微分するでも見たように、 $x$ の部分を定積分の外に出すことを考えましょう。右辺の定積分は $t$ で積分するので、 $x$ の部分は定数のように扱うことができます。 $e^{-x}$ を掛けている部分は、そのまま定積分の外に出せるので、\[ \int_0^1 e^{t-x}f(t)dt=e^{-x}\int_0^1 e^tf(t)dt \]と表すことができます。こうすると、右辺の定積分は、 $x$ が含まれていないので、 $x$ に関係のない定数と置けるわけなんですね。このようにして考えていきます。

$e^{-x}$ を定積分の外に出せば\[ f(x)=1-e^{-x}\int_0^1 e^t f(t)dt \]と書けるので、\[ a=\int_0^1 e^t f(t)dt \]とおくと、 $f(x)=1-ae^{-x}$ となります。これを $a$ の定義式の右辺に代入すると
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 e^t f(t)dt \\[5pt] &=& \int_0^1 e^t (1-ae^{-t})dt \\[5pt] &=& \int_0^1 (e^t-a) dt \\[5pt] &=& \Big[ e^t-at \Big]_0^1 \\[5pt] &=& e-a-1 \end{eqnarray}これが $a$ と一致するので、\[ a=\frac{e-1}{2} \]であることがわかります。 $f(x)=1-ae^{-x}$ だったので、\[ f(x)=1-\frac{(e-1)e^{-x} }{2} \]であることがわかります。