【基本】定積分と微分の関係の復習

ここでは、定積分と微分の関係について見ていきます。【基本】定積分と微分の関係で見た内容と大きくかぶっています。

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定積分と微分の関係

【基本】不定積分の復習で見たように、関数 $f(x)$ に対して、「微分すると $f(x)$ になる関数」を $f(x)$ の不定積分と呼び、\[ \int f(x) dx \]と呼ぶのでした。「微分すると $f(x)$ になる」のだから、もちろん、次の式が成り立ちます。\[ \dfrac{d}{dx}\int f(x) dx=f(x) \]「不定積分を微分すると、もとに戻る」ということですね。

一方、定積分の場合は、そのままの状態では、関数ではありません。 $F'(x)=f(x)$ とすると、定積分\[ \int_a^b f(x)dx \]は、 $F(b)-F(a)$ のことであり、ただの値です。なので、不定積分のときとは違って、微分すると $0$ になってしまいます。

ただ、定積分の場合にも、「積分は微分の逆である」「積分して微分すると元に戻る」ことを表す方法があります。定積分の結果は $F(b)-F(a)$ であり、 $F'(x)=f(x)$ なのだから、積分区間の $b$ の部分が $x$ であればいいですね。ただ、そうすると、積分変数の $x$ とかぶってしまうため、積分変数を $t$ に変えます。つまり、次のような定積分を考えればいいわけです。\[ \int_a^x f(t)dt \]これは、 $F(x)-F(a)$ だから、 $x$ で微分すると $f(x)$ になります。なので、\[ \dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x) \]が成り立つことがわかります。

定積分と微分の関係
$f(x)$ を連続関数とし、 a を定数とする。このとき、次の式が成り立つ。\[ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) \]

【基本】定積分と微分の関係では、 $f(x)$ が整式の場合を考えていましたが、今までに扱ってきた一般的な関数でも成り立ちます。上のリンク先でも書いていますが、この式は「微分積分学の基本定理」とも呼ばれています。

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定積分と微分の関係を使った計算その1

例題1
次の関数を $x$ について微分しなさい。\[ \int_0^x t e^t dt \]

この計算をするために、積分を計算する必要はありません。なぜなら、先ほどの「積分して微分すると元に戻る」という関係を使うことができるからです。

ここでは、すこしくどいですが、先ほどの内容を振り返りながら考えてみましょう。まず、\[ \dfrac{d}{dt}F(t)=t e^t \]となる関数を考えてみましょう。 $F(x)$ は、微分すると、被積分関数になるものです。これを使えば、例題の定積分は\[ F(x)-F(0) \]となります。これを $x$ について積分すると\[ \dfrac{d}{dx}F(x) \]だけが残ります。で、これは\[ x e^x \]になるのでしたね。

つまり、この定積分はまじめに計算する必要はなくて、\[ \frac{d}{dx} \int_0^x t e^t dt =x e^x \]となります。被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えるだけでおしまいです。

定積分と微分の関係を使った計算その2

例題2
次の関数を $x$ について微分しなさい。\[ \int_x^0 t e^t dt \]

先ほどとほぼ同じですが、積分区間だけが異なっています。こうなると結果はどのように変わるでしょうか。

先ほどと同じように、\[ \dfrac{d}{dt}F(t)=t e^t \]となる関数を考えてみましょう。このとき、例題の積分は\[
F(0)-F(x) \]となるので、 $x$ について微分すると\[ -\dfrac{d}{dx}F(x)=-x e^x \]となります。これが答えです。

これだとわかりにくい場合は、次のように変形してから考えてもいいでしょう。
\begin{eqnarray}
& &
\int_x^0 t e^t dt \\[5pt] &=&
-\int_0^x t e^t dt \\[5pt] \end{eqnarray}積分区間を入れ替えると符号が変わります(参考:【基本】定積分の復習)。このようにしてから、先ほどと同じように計算することもできます。

おわりに

ここでは、定積分と微分の関係について見てきました。【基本】定積分と微分の関係で見たときにはあまり問題が出てきませんでしたが、今回の分野では、この関係を用いた問題がいくつか見ていくことになります。見慣れないと計算しづらいので、練習していきましょう。