【基本】定積分と微分の関係の復習

🕒 2018/12/12 🔄 2023/05/01

ここでは、定積分と微分の関係について見ていきます。【基本】定積分と微分の関係で見た内容と大きくかぶっています。

📘 目次

定積分と微分の関係

【基本】不定積分の復習で見たように、関数 $f(x)$ に対して、「微分すると $f(x)$ になる関数」を $f(x)$ の不定積分と呼び、\[ \int f(x) dx \]と呼ぶのでした。「微分すると $f(x)$ になる」のだから、もちろん、次の式が成り立ちます。\[ \dfrac{d}{dx}\int f(x) dx=f(x) \]「不定積分を微分すると、もとに戻る」ということですね。

一方、定積分の場合は、そのままの状態では、関数ではありません。 $F'(x)=f(x)$ とすると、定積分\[ \int_a^b f(x)dx \]は、 $F(b)-F(a)$ のことであり、ただの値です。なので、不定積分のときとは違って、微分すると $0$ になってしまいます。

ただ、定積分の場合にも、「積分は微分の逆である」「積分して微分すると元に戻る」ことを表す方法があります。定積分の結果は $F(b)-F(a)$ であり、 $F'(x)=f(x)$ なのだから、積分区間の $b$ の部分が $x$ であればいいですね。ただ、そうすると、積分変数の $x$ とかぶってしまうため、積分変数を $t$ に変えます。つまり、次のような定積分を考えればいいわけです。\[ \int_a^x f(t)dt \]これは、 $F(x)-F(a)$ だから、 $x$ で微分すると $f(x)$ になります。なので、\[ \dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x) \]が成り立つことがわかります。

定積分と微分の関係

$f(x)$ を連続関数とし、 a を定数とする。このとき、次の式が成り立つ。\[ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x) \]

【基本】定積分と微分の関係では、 $f(x)$ が整式の場合を考えていましたが、今までに扱ってきた一般的な関数でも成り立ちます。上のリンク先でも書いていますが、この式は「微分積分学の基本定理」とも呼ばれています。

定積分と微分の関係を使った計算その１

例題1

次の関数を $x$ について微分しなさい。\[ \int_0^x t e^t dt \]

この計算をするために、積分を計算する必要はありません。なぜなら、先ほどの「積分して微分すると元に戻る」という関係を使うことができるからです。

ここでは、すこしくどいですが、先ほどの内容を振り返りながら考えてみましょう。まず、\[ \dfrac{d}{dt}F(t)=t e^t \]となる関数を考えてみましょう。 $F(x)$ は、微分すると、被積分関数になるものです。これを使えば、例題の定積分は\[ F(x)-F(0) \]となります。これを $x$ について積分すると\[ \dfrac{d}{dx}F(x) \]だけが残ります。で、これは\[ x e^x \]になるのでしたね。

つまり、この定積分はまじめに計算する必要はなくて、\[ \frac{d}{dx} \int_0^x t e^t dt =x e^x \]となります。被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えるだけでおしまいです。

定積分と微分の関係を使った計算その２

例題2

次の関数を $x$ について微分しなさい。\[ \int_x^0 t e^t dt \]

先ほどとほぼ同じですが、積分区間だけが異なっています。こうなると結果はどのように変わるでしょうか。

先ほどと同じように、\[ \dfrac{d}{dt}F(t)=t e^t \]となる関数を考えてみましょう。このとき、例題の積分は\[
F(0)-F(x) \]となるので、 $x$ について微分すると\[ -\dfrac{d}{dx}F(x)=-x e^x \]となります。これが答えです。

これだとわかりにくい場合は、次のように変形してから考えてもいいでしょう。
\begin{eqnarray} & & \int_x^0 t e^t dt \\[5pt] &=& -\int_0^x t e^t dt \\[5pt] \end{eqnarray}積分区間を入れ替えると符号が変わります（参考：【基本】定積分の復習）。このようにしてから、先ほどと同じように計算することもできます。