【標準】自然対数と極限値

ここでは、極限を求めるときに、自然対数の定義を利用する問題を見ていきます。

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自然対数と極限値その1

自然対数 $e$ は、【基本】自然対数で見た通り、次で定義されます。\[ e=\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]これは対数関数の微分をする途中で出てきました。式中にある $h$ は、同じ形でなければいけません。つまり、丸カッコの中が $1+2h$ となっていたら、指数も $\dfrac{1}{2h}$ となっていないといけません。同じように変形していかなければ、極限値は変わってしまいます。

上で見た自然対数の定義内の極限が、別の極限を求めるときに利用できることがあります。次の例題を見てみましょう。

例題1
次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} \]

$1$ に近いものを何回も掛ける、という式になっており、不定形です。 $0$ や $\infty$ や他の有限の値など、いろんな結果になりえます。極限値を求めるには、何か変形が必要です。

$e$ の定義と大きく異なるのは、 $(1-3x)$ の部分ですね。先ほどの自然対数の定義でいうと、 $h$ が $-3x$ に変わっているわけですね。 $x\to 0$ のときは $-3x\to 0$ なのでいいのですが、問題は指数の部分です。指数は $\dfrac{1}{x}$ となっていて、 $-3x$ と対応していません。ここが同じになるように、指数の部分をいじって次のように変形します。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \left\{(1-3x)^{\frac{1}{-3x}}\right\}^{-3} \\[5pt] \end{eqnarray}こうすると、丸カッコの中と指数の部分は $-3x$ 同士で対応し、波かっこの中は自然対数の定義が使えるようになります。これから、極限は\[ e^{-3} \]となることがわかります。

$(1-3x)$ の中はいじることができないので、指数の $\dfrac{1}{x}$ の部分を $\dfrac{1}{-3x}$ として、対応するように変形します。

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自然対数と極限値その2

次も自然対数の定義を利用しますが、少し難易度が上がります。

例題2
次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to \infty} x\log \left(1+\frac{2}{x}\right) \]

これも「無限大 × 0」という不定形なので、上手く式変形をする必要があります。

自然対数の定義とだいぶ形が違っているように見えますが、 $x$ を $\log$ の中に入れてみると少しわかりやすくなります。\[ \lim_{x\to \infty} \log \left(1+\frac{2}{x}\right)^x \]こうすると、 $\log$ の中は「 $1$ に近い数字を何度も掛けたもの」を表していることから、自然対数の定義が使えそうな気がします。

自然対数の定義と少し形が違って見えるのは、自然対数の定義で $h$ だった部分が逆数になっているからですね。 $h=\dfrac{1}{x}$ としましょう。そうすると、 $x\to \infty$ のときは $h\to +0$ となります。よって、求めたい極限は、次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to \infty} x\log \left(1+\frac{2}{x}\right) \\[5pt] &=&
\lim_{h\to +0} \log (1+2h)^{\frac{1}{h}} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to +0} \log \left\{(1+2h)^{\frac{1}{2h}}\right\}^2 \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、波かっこの部分は、 $e$ に収束します。 $h\to +0$ となっていますが、 $h\to 0$ のときに $e$ に収束するのだから、同じ値に収束するのは当然ですね。このことから、この極限値は\[ \log e^2=2 \]となることがわかります。

自然対数の定義は\[ e=\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]でしたが、この問題に出てきたように、 $h$ の部分を逆数にした次の形もよく使われます。\[ e=\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^h \]どちらでも使えるようになっておくといいでしょう。

おわりに

ここでは、自然対数の定義を使って、別の極限の値を求める問題を見ました。いつ使うのかが難しいですが、「 $1$ に近いものをたくさん掛ける」という不定形の問題ではよく用いられます。