【基本】対数関数の微分

ここでは、自然対数を用いて、対数関数の微分を計算していきます。

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対数関数の微分

【基本】自然対数では、 $f(x)=\log_a x$ の $x=1$ での微分係数を求めようとすると、途中で\[ \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]が出てくることを見ました。この極限は $2.718$ くらいの「ある値」に収束し、これを自然対数と呼び、 $e$ で表すのでしたね。

この自然対数を用いれば、対数関数の微分を計算することができます。まずは、 $f(x)=\log_a x$ の $x=1$ での微分係数を求めてみましょう(a は1以外の正の実数)。定義から考えると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\cdot\{\log_a (1+h)-\log_a 1\} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \log_a (1+h)^{\frac{1}{h}} \\[5pt] &=&
\log_a e \\[5pt] \end{eqnarray}このままでもいいのですが、今後は、基本的に自然対数 $e$ を底とするように変形しましょう。【基本】自然対数でも書いた通り、底を省略したら底は $e$ のことです。 $e$ が基準です。これから徐々にこの重要性については学んでいきますが、今後は対数の底は $e$ で表していくことにします。

底の変換公式を使えば\[ \log_a e=\frac{1}{\log a} \]となります。これが $x=1$ での微分係数となります。

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ここまでの内容を踏まえ、一般の $x$ について考えてみましょう。同じように変形すれば
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\cdot\{\log_a (x+h)-\log_a x\} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\cdot \log_a \left(1+\frac{h}{x}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。先ほど同じように、自然対数の定義\[ \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]と似た式がありますが、少し違います。カッコの中が $\dfrac{h}{x}$ になっています。ここを別の文字 $k$ で置いて、次のように変形してみましょう。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0} \frac{1}{x}\cdot \frac{x}{h}\cdot \log_a \left(1+\frac{h}{x}\right) \\[5pt] &=&
\frac{1}{x}\lim_{h\to 0} \log_a \left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}} \\[5pt] &=&
\frac{1}{x}\lim_{h\to 0} \log_a (1+k)^{\frac{1}{k}} \\[5pt] &=&
\frac{\log_a e}{x} \\[5pt] &=&
\frac{1}{x\log a} \\[5pt] \end{eqnarray}これが対数関数を微分した結果となります。

特に、 $\log_e e=1$ なので、 $f(x)=\log x$ を微分した結果は\[ \frac{1}{x\log e}=\frac{1}{x} \]となります。

対数関数の微分
\begin{eqnarray}
& & (\log x)’ = \dfrac{1}{x} \\[5pt] & & (\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\log a} \\[5pt] \end{eqnarray}

対数関数の定義域は、正の実数全体です。 $a^y=x$ の関係があるからですね。ただ、対数関数を次のように変形したもの\[ f(x)=\log |x| \]であれば、定義域は $x\ne 0$ となります。この形であれば、微分した結果は都合の良い結果が得られます。

まず、 $x\gt 0$ のときは、先ほど見た通り\[ (\log x)’=\frac{1}{x} \]となります。 $x\lt 0$ のときは、合成関数の微分だと考えましょう。
\begin{eqnarray}
\{\log(-x)\}’
&=&
\frac{1}{-x} \cdot (-1) \\[5pt] &=&
\frac{1}{x}
\end{eqnarray}と計算できます。つまり、 $x$ の符号を考えずに\[ (\log |x|)’=\dfrac{1}{x} \]となるということです。

$\log_a |x|$ は、底の変換公式を使うと\[ \frac{\log|x|}{\log a} \]なので、これを微分した結果は $\dfrac{1}{x\log a}$ となります。符号を考えなくてよくなるので、対数関数の微分としては、こちらを使うこともあります。

対数関数の微分(絶対値付き)
\begin{eqnarray}
& & (\log |x|)’ = \dfrac{1}{x} \\[5pt] & & (\log_a |x|)’ = \dfrac{1}{x\log a} \\[5pt] \end{eqnarray}

おわりに

ここでは、対数関数の微分を計算しました。一番のキーとなるものは、 $(\log x)’=\dfrac{1}{x}$ です。底が $e$ でないものは、底の変換公式から導けばいいでしょう。