【標準】三角関数の極限

ここでは、三角関数に関する極限を考えていきます。 $\dfrac{\sin x}{x}$ に関連するものをいくつか見ていきます。

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三角関数の極限(動き方を合わせる)

例題1
次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} \]

【基本】三角関数の極限でも見たように、次が成り立ちます。\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \]この公式を利用すれば求められそうですね。

ここで注意が必要なのは、分母の $x$ と分子に表れる角 $x$ は同じでないといけない、という点です。例題では、角が $2x$ となっているので、分母の $x$ とは動き方が異なっています。そのため、上の公式をそのまま利用することはできません。

そこで、分子にあらわれる角 $2x$ と分母が同じになるように、無理やり次のように変形してみます。\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\times 2 \]こうすると、分子にある角 $2x$ と分母 $2x$ が一致します。このようにあわせると、極限が $1$ になることが使えます。以上から、
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\times 2 \\[5pt] &=&
2
\end{eqnarray}と求められます。

ここでは、分母をいじりましたが、分子をいじる方法もあります。2倍角の公式を使えば
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{2\sin x\cos x}{x} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} 2\cos x \times \frac{\sin x}{x} \\[5pt] &=&
2
\end{eqnarray}となります。前半は $2$ へ、後半は $1$ に収束するからです。

ただ、 $\sin$ の方は簡単に変形できるとは限りません。一方、 $x$ のほうは、「a 倍してあとで a で割る」といった変形が簡単にできます。なので、普通は $\sin$ にあらわれる角と同じ形になるように変形する、という手法を使います。

三角関数の極限(xを無理やり出してくる)

例題2
次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} \]

分母も分子も $0$ に収束してしまうため、何か変形をして求めなくてはいけません。3倍角の公式はありましたが、5倍角の公式はないので、加法定理関連の公式を使って変形することは難しそうです。

ここでも使うのは $\dfrac{\sin x}{x}$ の極限の公式です。今の問題では、分母の $x$ にあたるものがありませんが、次のようにして無理やり出してくることができます。
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\times \frac{5x}{\sin 5x} \times \frac{3x}{5x} \\[5pt] &=&
\frac{3}{5}
\end{eqnarray}となります。 $x\to 0$ のときに $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$ となるのだから、 $\dfrac{x}{\sin x}$ も $1$ に収束します。よって、上のように極限を求めることができます。

$\sin x$ に関連する関数で、 $x\to 0$ としたときの極限を求める場合は、 $\dfrac{\sin x}{x}$ の形に変形できないか、考えるようにしましょう。

三角関数の極限(相互関係を使う)

例題3
次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \]

今回も、分母・分子はともに $0$ に収束します。しかし、今回は $\cos$ なので、今までとは異なる式変形が必要そうです。

ただ、よく思い出してみると、 $\cos$ を $\sin$ の式で書くことができましたね。相互関係が使えます(参考:【基本】三角関数の相互関係)。これより、\[ \sin^2 x +\cos^2 x=1 \]が成り立ちます。これを用いれば
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} \\[5pt] &=&
\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \times \frac{1}{1+\cos x} \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}
\end{eqnarray}と求められます。

ここでは、 $\cos$ を含む極限を見ましたが、 $\tan x$ を含む極限を考える場合もあります。このときには、\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]を使って式変形をすることもあります。

おわりに

ここでは、 $\dfrac{\sin x}{x}$ に関連する三角関数の極限についてみてきました。弧の公式を直接使って終わり、ということはほとんどなく、いくつか式変形が必要がケースが多いです。他の関数の極限と違って、式変形の仕方が難しいことが多いので、よく練習しましょう。