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【基本】微分と関数のグラフ

🕒 2018/10/22 🔄 2023/06/27

ここでは、微分を利用して、関数のグラフをかく方法を見ていきます。

📘 目次

例題

関数 $y=e^{-\frac{x^2}{2} }$ のグラフをかきなさい。

微分を利用して、この関数のグラフをかいてみましょう。基本的には、今までに見てきた、関数の増減、極値、凹凸（上に凸か下に凸か）、変曲点などを調べていくことになります。そして、増減表をかいて、それをもとにグラフをかく、という流れです。

順番に流れを見ていきましょう。

定義域を考えよう

まず、いきなり微分してしまうのではなく、関数の定義域について考えましょう。

$0\leqq x\leqq 1$ などと制限がついていれば、もちろんその範囲で考えます。

$\log$ や $\sqrt{\quad }$ が含まれている場合は、範囲について暗黙の条件がついているので注意が必要です。分母に文字を含む分数関数も、「分母が $0$ でない」という条件がつくことに注意しましょう。

今の場合はどれにも該当しないので、実数全体を考えることになります。

微分して増減を考えよう

$y=e^{-\frac{x^2}{2} }$ のグラフを考えるために、増減について調べましょう。これを調べるには、微分した結果 $y'$ の符号を調べればいいですね（参考：【基本】微分と関数の増減（平均値の定理を利用））。

合成関数の微分を使って微分すると
\begin{eqnarray} y' &=& e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot \left( -\dfrac{x^2}{2} \right)' \\[5pt] &=& -x e^{-\frac{x^2}{2} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 $x\leqq 0$ では単調増加、 $x\geqq 0$ では単調減少であることがわかります。また、 $x=0$ の前後で、 $y'$ の符号がプラスからマイナスに変わるので、 $x=0$ で極大となることがわかります（参考：【基本】極大値と極小値（の復習））。

第二次導関数を求めて凹凸を考えよう

$y=e^{-\frac{x^2}{2} }$ のグラフを考えるため、増減だけでなく、凹凸も求めましょう。第二次導関数を学んだ後で、「グラフをかくこと」がメインの問題に答える場合は、通常は凹凸まで調べます。

$y'=-x e^{-\frac{x^2}{2} }$ だったので、これをもう一度微分して
\begin{eqnarray} y^{\prime\prime} &=& - e^{-\frac{x^2}{2} } -x e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot (-x) \\[5pt] &=& (x^2-1) e^{-\frac{x^2}{2} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 $-1\lt x\lt 1$ で上に凸、 $x\lt -1, x\gt 1$ で下に凸となることがわかります。（参考：【基本】上に凸と下に凸）。 $x=\pm 1$ のところが変曲点になることもわかります（参考：【基本】変曲点）。

増減表をかこう

$\def\EtoN{\class{EtoN}{} }\def\EtoS{\class{EtoS}{} }\def\NtoE{\class{NtoE}{} }\def\StoE{\class{StoE}{} }$増減表をかくためのパーツがそろいました。増減表をかくと次のようになります。

\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y' & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline y^{\prime\prime} & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline y & \EtoN & e^{-\frac{1}{2} } & \NtoE & 1 & \EtoS & e^{-\frac{1}{2} } & \StoE \end{array}

$y'$ の符号ががプラスなら増加、マイナスなら減少です。また、 $y^{\prime\prime}$ の符号がプラスなら下に凸、マイナスなら上に凸です。これらを組み合わせると、一番の行にあるように $y$ が変化することがわかります。

範囲の端っこがどうなっているか考えよう

増減表によって、増減や凹凸はわかるのですが、今のままでは、グラフの左側や右側がどこに近づいていくかはわかりません。 $e^{-\frac{1}{2} }$ より小さい値をとることしかわからず、このままではグラフがかけません。

今の場合、定義域は実数全体だったので、 $x\to\infty$, $x\to -\infty$ のところで、 $y$ がどんな値になるかを考えておく必要があります。

$y=e^{-\frac{x^2}{2} }$ なので、 $x\to\infty$, $x\to -\infty$ 、どちらの場合も、 $-\dfrac{x^2}{2}\to -\infty$ なので、 $y\to 0$ となります。つまり、右端も左端も、 $x$ 軸に近づいていくようにグラフをかけばいいことがわかります。