【基本】商の微分

ここでは、「関数分の関数」を微分するとどうなるかを見ていきます。

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商の微分

【基本】積の微分では、関数の積の微分を考えましたが、ここでは、商の微分を考えましょう。

2つの微分可能な関数 $f(x),g(x)$ があるとします。最終的には $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の微分を計算したいのですが、まずは $\dfrac{1}{g(x)}$ のケース、つまり、分子が $1$ の場合から考えてみます。

分母に $g(x)$ があるので、 $g(x)\ne 0$ の範囲で考えるものとします。

まずは、定義通りに考えると、\[ \lim_{h\to 0} \dfrac{1}{h} \left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\} \]を考えることになります。分子に分数が来るので波かっこのように表現していますが、これは定義通りです。

また、細かな話ですが、 $g(x)\ne 0$ なので、 $h$ がすごく小さい場合は、 $g(x+h)$ も $0$ とは異なる、とできます。 $g(x)$ は連続だから、例えば、 $g(x)$ が正のときは、 $g(x+h)$ も正となるように $h$ の取りうる値を小さくすることができます。(この段落の意味が分からなければ、とりあえず、 $\dfrac{1}{g(x+h)}$ の分母が $0$ ではないような場合を考えるんだな、と理解しておけばとりあえずOKです)

先ほどの極限の式を変形していくと
\begin{eqnarray}
& &
\lim_{h\to 0} \dfrac{1}{h} \left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \dfrac{1}{h} \cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)} \\[5pt] &=&
\lim_{h\to 0} \frac{-\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、 $g(x)$ は微分可能だから前半部分は $-g'(x)$ になることがわかり、後半は、 $g(x)$ が連続だから $\dfrac{1}{\{g(x)\}^2}$ となることがわかります。よって、上の極限を計算すれば\[ \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \]となることがわかります。

また、 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の微分は、 $f(x)$ と $\dfrac{1}{g(x)}$ との積の微分だと考えれば、【基本】積の微分の内容がそのまま使えて
\begin{eqnarray}
& &
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’ \\[5pt] &=&
f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’ \\[5pt] &=&
f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot\frac{-g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\[5pt] &=&
\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

商の微分
関数 $f(x),g(x)$ が微分可能だとする。 $g(x)\ne 0$ のときに、次が成り立つ。
\begin{eqnarray}
& & \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\[5pt] & & \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\[5pt] \end{eqnarray}

1つ目は、マイナスをつけること、分母を2乗することを忘れやすいので注意しましょう。2つ目は、分子の順番に注意です。もとの分子の微分が先に出てきます。

xの整数乗の微分

商の微分を使うと、例えば、 $n$ が正の整数のときに、 $\dfrac{1}{x^n}$ の微分を考えることができます。先ほどの内容を使って計算すると
\begin{eqnarray}
\left\{\dfrac{1}{x^n}\right\}’
&=&
-\frac{(x^n)’}{(x^n)^2} \\[5pt] &=&
-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} \\[5pt] &=&
-\frac{n}{x^{n+1}} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは、 $x^{-n}$ を微分すると $-n x^{-n-1}$ となることを表しています。指数と、もとの関数の指数を $1$ 減らしたものとの積、になるということですね。

このことと、【基本】積の微分#xのn乗の微分で見た内容と合わせると、次のように集約できます。

xのn乗の微分
$n$ が整数のとき、次が成り立つ。\[ (x^n)’=nx^{n-1} \]

$n$ が自然数ではなく、整数になっていることに注意しましょう。 $n$ が正の整数でも負の整数でも、「 $x^n$ を微分すると、指数を $1$ 減らしたものを $n$ 倍したものになる」ということです。 $n=0$ のときは、定数の微分になり、 $0$ となるので成り立ちます。

例えば、 $\dfrac{1}{x}$ を微分すると、 $-\dfrac{1}{x^2}$ となります。

おわりに

ここでは、商の微分について見てきました。積の微分よりもさらに式が複雑になりました。また、 $x^n$ の微分を、 $n$ が自然数のときだけでなく、整数のときでも考えられるようになりました。