【基本】無限級数の収束・発散と項の極限

ここでは、無限級数の収束や発散と、項の極限との関係について見ていきます。

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無限級数が収束するとき

無限級数の和を求めるには、【基本】無限級数で見たように、第 $n$ 項までの和(部分和)を考え、その値の極限を求める、というのがそもそもの求め方です。この部分和が収束するか発散するかは、基本的には、部分和を求めて極限を考えるまではわからないのですが、それだと少し不便ですよね。

例えば、発散すると事前にわかっていれば、極限値を求めようとする必要はないし、部分和も計算しなくてすみます。収束するか発散するか、この情報が、無限級数の各項の情報から得られないか、ここでは考えてみましょう。

まず、無限級数が収束するときを考えてみます。無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とし、無限級数の和を $S$ とします。このとき、第 $n$ 項は、 $n\geqq 2$ のときには、\[ a_n=S_n-S_{n-1} \]と書くことができます。 $n$ 項目までの和から $(n-1)$ 項目までの和を引けば、残りは第 $n$ 項だけですからね。ここで、 $n\to\infty$ とすると、右辺の $S_n,S_{n-1}$ は、ともに $S$ に収束するので、
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty} a_n
&=&
\lim_{n\to\infty} (S_n-S_{n-1}) \\[5pt] &=&
\lim_{n\to\infty} S_n -\lim_{n\to\infty} S_{n-1} \\[5pt] &=&
S-S \\[5pt] &=&
0
\end{eqnarray}となります(参考:【基本】無限級数の性質)。つまり、無限級数が収束するときは、項は0に収束する、ということがわかります。

和がある値に収束しているのだから、足している項は0に近づいていかないといけない、というのは、言われてみれば自然な条件だと思います。

同値な言い換えですが、上の内容の対偶もよく用いられます。対偶は、「項が0に収束しないなら、無限級数は発散する」です。

これらを式で表すと、次のようになります。

無限級数の収束と発散
無限級数と数列の収束・発散について、次が成り立つ。

  • 無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0$
  • 数列 $\{a_n\}$ が0に収束しないなら、無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する

例えば、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ は、各項の極限を考えると\[ \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1}=1 \]となり、0以外の値に収束するので、この無限級数は発散することがわかります。部分和を計算する必要はありません。

各項が0以外の値に収束したり、発散したりする場合には、無限級数が発散することはすぐにわかります。

各項が0に収束しても無限級数が収束するとは限らない

先ほどは、「無限級数が収束するなら、各項は0に収束する」ということを見ましたが、逆は成り立ちません。【基本】無限級数でも見たように、「各項は0に収束するのに、無限級数は発散する」という例はあります。

上のリンク先では、\[ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \]という例を見ました。各項は0に収束します。しかし、この各項は $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ と変形できるので、 $n$ 項目までの和は\[ \sqrt{n+1}-1 \]となり、部分和は発散してしまいます。

絶対値がすごく小さいものをすごくいっぱい足した場合、結果はどうなるかわかりません。収束する場合もあるし、発散する場合もあります。各項が0に収束しないなら無限級数が発散することは言えますが、各項が0に収束する場合は、無限等比級数でもない限り、部分和がどうなるかを地道に考えるしかありません。

おわりに

ここでは、無限級数の収束・発散と項の極限について考えてきました。確実に言えることは、無限級数が収束するなら項は0に収束すること、そして、項が0に収束しないなら無限級数は発散すること、です。逆は成り立たないので注意しましょう。