【基本】グラフの平行移動・曲線の平行移動

ここでは、関数のグラフを平行移動した場合に、対応する関数はどのように変わるか、を見ていきます。また、方程式で表される曲線の場合についても見ていきます。

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グラフの平行移動

(ここの内容は、【発展】グラフの平行移動の前半の内容と、ほぼ同じです。)

関数のグラフを平行移動した場合、どのような関数のグラフに移動するか、ということを考えてみましょう。

この話は、すでに何度か登場しています。例えば、二次関数の場合には、【基本】二次関数y=a(x-p)^2+qのグラフで見たように、 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフは、 $y=ax^2$ のグラフを平行移動したものだ、と考えました。三角関数の場合も、【標準】三角関数のグラフなどで取り上げています。

ある関数のグラフをかこうとした場合、それが複雑な式であれば、いきなりグラフをかくことができないこともあります。しかし、あるシンプルな関数のグラフを平行移動したものだ、ということがわかれば、グラフをかくのがやさしくなります。

さて、関数 $y=f(x)$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した場合、どのような関数のグラフに移動するかを考えてみましょう。平行移動前の点を $(X,Y)$ として、この点が平行移動によって $(x,y)$ に移るとします。この $x,y$ が満たす式を求めればいいわけですね。

平行移動によって、点 $(X,Y)$ が点 $(x,y)$ に移動するので、
\begin{eqnarray}
X+p &=& x \\
Y+q &=& y \\
\end{eqnarray}が成り立ちます。これらを変形すると
\begin{eqnarray}
X &=& x-p \\
Y &=& y-q \\
\end{eqnarray}が成り立ちます。また、点 $(X,Y)$ は $y=f(x)$ のグラフ上の点なので、\[ Y=f(X) \]が成り立ちます。先ほどの式をこれに代入すると、\[ y-q=f(x-p) \]が成り立つことがわかります。これは、 $x,y$ に関する関係式なので、これが平行移動後のグラフに対応する関数だ、ということがわかります。

グラフの平行移動
関数 $y=f(x)$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、関数\[ y=f(x-p)+q \]のグラフに移動する。

$x+p$, $y+q$ ではなく、 $x-p$, $y-q$ に置き換わるところがポイントです。

曲線の平行移動

(ここの内容は、【標準】二次曲線の平行移動の後半の内容とほぼ同じです。)

半径が $r$ で、原点を中心とする円の方程式は、\[ x^2+y^2=r^2 \]と表すことができます。この場合、 $y$ は $x$ の関数とはいえません(値が1つに決まらないことがあるので)が、上と同じように、方程式が表す曲線の平行移動を考えることはできます。

方程式 $F(x,y)=0$ が表す曲線について考えましょう。これは、先ほどの円の場合なら、\[ F(x,y)=x^2+y^2-r^2 \]となります。この曲線を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した場合、どのような曲線に移動するかを考えてみましょう。

といっても、考えることは先ほどと同じです。点 $(X,Y)$ が点 $(x,y)$ に移動するとすると、\[ X=x-p,\ Y=y-q \]であり、\[ F(X,Y)=0 \]が成り立つのだから、代入して\[ F(x-p,y-q)=0 \]となります。これが、平行移動後の曲線を表す方程式となります。

曲線の平行移動
曲線 $F(x,y)=0$ を、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、曲線\[ F(x-p,y-q)=0 \]に移動する。

結果だけ見ると、 $x,y$ を $x-p,y-q$ に置き換えるだけでいい、ということですね。関数のときと同じですね。

グラフの拡大・縮小・対称移動

グラフを拡大・縮小するとどうなるか、も考えてみましょう。

関数 $y=f(x)$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $a$ 倍、 $y$ 軸方向に $b$ 倍したとします。ただし、 $a,b$ は正の数とします。これらが1より大きいときは拡大、小さいときは縮小、となります。

考え方は今までと同じです。点 $(X,Y)$ が $(x,y)$ に移ったとすると\[ X=\dfrac{x}{a},\ Y=\dfrac{y}{b} \]が成り立つので、 $Y=f(X)$ に代入して\[ \dfrac{y}{b}=f\left(\dfrac{x}{a}\right) \]が変形後のグラフに対応する関数であることがわかります。

曲線の場合も同様で、曲線 $F(x,y)=0$ は、拡大・縮小によって、曲線\[ F\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=0 \]に変形されます。この話は、【基本】楕円の方程式と円の方程式とも関係しています。

また、 $a,b$ を正として考えましたが、 $-1$ の場合は、対称移動を表すようになります。 $a=1,b=-1$ のときは、 $x$ 軸についての対称移動を表すようになります。 $a=-1,b=1$ のときは $y$ 軸についての対称移動を表し、 $a=b=-1$ のときは、原点についての対称移動を表すようになります。

おわりに

ここでは、グラフや曲線の平行移動について考えました。平行移動後のグラフや曲線に対応する関数・方程式の求め方を見てきました。また、拡大・縮小・対称移動についても考えました。いずれも、移動前・変形前の関数・方程式に代入して求める、というところがポイントでした。このポイントをおさえておけば、符号などを間違うことはなくなるでしょう。