【基本】不定積分の置換積分の計算

ここでは、置換積分(不定積分)の計算でよく出てくる置換方法を見ていきます。なお、 $C$ は積分定数を表します。

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多項式関数を置換

例題1
次の不定積分を計算しなさい。\[ \int x\sqrt{x^2+1} dx \]

置換積分については、【基本】不定積分の置換積分(dxを置き換え)【基本】不定積分の置換積分(微分ごと置き換え)で見ました。特に、2つ目に出てくる次の変形\[ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \]をよく使います( $u=g(x)$ としています)。このページでは、左辺から右辺に変形して計算するパターンをいくつか見ていきます。ポイントは、 $g'(x)dx$ を $du$ に置き換えるところです。どのように置き換えるかに注意して見ていきましょう。

この例題を見ると、ルートの中がごちゃごちゃしているので、ここをスッキリさせたいですね。そこで、 $u=x^2+1$ と置くことにしましょう。この計算をするには、 $(x^2+1)’ dx$ 、つまり $2xdx$ を $du$ に置き換えることになります。ちょうどうまい具合に $xdx$ があるので、これが利用できます。以上から
\begin{eqnarray}
& &
\int x\sqrt{x^2+1} dx \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\int \sqrt{x^2+1} \cdot 2x dx \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\int \sqrt{x^2+1} \cdot (x^2+1)’ dx \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\int \sqrt{u} du \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C \\[5pt] &=&
\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$u=x^2+1$ と置けば、右辺を微分したときに出てくる $2x$ と $dx$ とを合わせて、定数倍の調整をすれば、 $du$ に置き換えることができます。こうして、積分が計算できます。

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三角関数を置換

例題2
次の不定積分を計算しなさい。\[ \int \cos^3 x\sin x dx \]

先ほどもかきましたが、 $u=g(x)$ と置いたときに、 $g'(x)dx$ を $du$ に置き換えることになります。これを踏まえて、この例題では、何を $u$ に置けばいいか考えてみましょう。

$u=\cos x$ とおいたり、 $u=\sin x$ とおいたり、といくつか考えられますが、ここでは、 $u=\cos x$ と置きます。そうすると、 $(\cos x)’=-\sin x$ なので、 $-\sin x dx$ の部分を $du$ で置き換えられます。他の $\cos^3 x$ の部分は $u^3$ となるので、計算できます。以上から、
\begin{eqnarray}
& &
\int \cos^3 x\sin x dx \\[5pt] &=&
-\int \cos^3 x \cdot (-\sin x) dx \\[5pt] &=&
-\int \cos^3 x \cdot (\cos x)’ dx \\[5pt] &=&
-\int u^3 du \\[5pt] &=&
-\frac{1}{4}u^4+C \\[5pt] &=&
-\frac{1}{4}\cos^4 x+C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$u=\cos x$ と置けば、 $-\sin x dx$ を $du$ に置き換えることになります。被積分関数が $\sin x$ 1つと、 $\cos x$ の式との積になっているので、うまく置き換えることができました。この例題が\[ \int \sin^3 x\cos x dx \]であれば、 $u=\sin x$ と置けば、うまく計算できます。 $\cos x dx$ を $du$ に置き換えればいいので、\[
\int u^3 du \]となり、\[ \frac{1}{4}\sin^4 x+C \]と計算できます。

指数関数を置換

例題3
次の不定積分を計算しなさい。\[ \int e^x\sqrt{e^x+1} dx \]

$u=e^x$ と置けば、 $e^x dx$ を $du$ と置き換えればいいので、\[ \int\sqrt{u+1} du \]を計算することになります。しかし、今の場合は、もっといい置き方があります。 $u=e^x+1$ と置くやり方です。こうした方が、置き換えた後の積分が少しだけ考えやすくなります。 $u=e^x+1$ と置くと
\begin{eqnarray}
& &
\int e^x\sqrt{e^x+1} dx \\[5pt] &=&
\int \sqrt{e^x+1} \cdot (e^x+1)’ dx \\[5pt] &=&
\int \sqrt{u} du \\[5pt] &=&
\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C \\[5pt] &=&
\frac{2}{3}(e^x+1)\sqrt{e^x+1}+C \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

おわりに

ここでは、置換積分でよく使われる置き換え方を見てきました。 $g'(x)dx$ の部分がどこかを考えることで、どのように置けばいいかが思いつきやすくなるでしょう。