【標準】区分求積法を使って和の極限を求める

🕒 2018/12/29 🔄 2023/05/01

ここでは、区分求積法を使って和の極限を求める問題を見ていきます。区分求積法が使えるように、少し変形が必要なものを見ていきます。

📘 目次

区分求積法を使って和の極限を求めるその１

例題1

$n$ を正の整数とし、\[ a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n} \]とします。このとき、次の極限値を求めなさい。 \[ \lim_{n\to\infty} a_n \]

数列の分野でいろいろな和の公式を学びましたが、分数の和に関するものは見ませんでした。これを簡単に表すことは難しいです。

$n$ を大きくしていくと、各項は $0$ に小さくなっていきますが、項の数はどんどん多くなっていきます。とても小さいものをとてもたくさん足す、という式なので、 $0$ に収束することもあれば、正の無限大に発散することもあるし、ある正の値に収束することもありえます。

和を簡単に表す公式はないけれども、和をなんとか変形しないと極限が計算できない、という問題になっています。

このような「小さいものをたくさん足す」和の極限を求める場合に、区分求積法が使えることがあります。【基本】区分求積法を使って和の極限を求めるでも見ましたが、区間 $[0,1]$ で連続な関数 $f(x)$ に対して、次が成り立つのでした。\[ \int_0^1 f(x)dx=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \]これと今の問題を見比べて、どう対応するのか考えてみましょう。

まず、この問題の式を、 $\sum$ を使って書きなおしてみましょう。\[ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \]となります。これと上の式を見比べると、 $\dfrac{1}{n}$ がないのと、 $\dfrac{k}{n}$ の式になっていない点が違いますね。次のように変形すれば、両方とも解決します。
\begin{eqnarray} & & \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \\[5pt] &=& \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n} } \\[5pt] \end{eqnarray}こう変形すれば、区分求積法の式で、 $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ として適用することで、この極限は、\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx \]と変形できます。

ここまでくれば、あとは積分を計算するだけで、
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx \\[5pt] &=& \Big[ \log(1+x) \Big]_0^1 \\[5pt] &=& \log 2 \end{eqnarray}となることがわかります。

和の極限を求める問題で、和が直接計算できない場合には、こうして $\dfrac{1}{n}$ と $\dfrac{k}{n}$ を作り出して、区分求積法を使って求められることがあります。

区分求積法を使って和の極限を求めるその２

例題2

$n$ を正の整数とし、\[ a_n=\dfrac{1}{n^2+1^2}+\dfrac{2}{n^2+2^2}+\dfrac{3}{n^2+3^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2} \]とします。このとき、次の極限値を求めなさい。 \[ \lim_{n\to\infty} a_n \]

これも、直接和を求めることはできませんね。しかも、各項は $0$ に収束するので、小さいものをたくさん足す、不定形のパターンです。ここでも、区分求積法が使える形に変形していきましょう。

$\sum$ を使って書き直すと\[ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} \]となります。ここでも、無理やり $\dfrac{1}{n}$ や $\dfrac{k}{n}$ が出てくるように変形すると
\begin{eqnarray} & & \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} \\[5pt] &=& \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n} }{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、区分求積法を用います。 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ とすればいいですね。 \begin{eqnarray} & & \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx \\[5pt] &=& \Big[ \frac{1}{2}\log|1+x^2| \Big]_0^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\log2 \\[5pt] \end{eqnarray}が答えとなります。