【基本】三角関数の微分

🕒 2018/09/17 🔄 2023/06/25

ここでは、三角関数の微分を導いていきます。

📘 目次

sinの微分

今までは、 $x^n$ や分数関数、無理関数などを微分してきましたが、他にも関数はあります。これから、いろいろな関数の微分を見ていきます。今まで見た関数の中で微分可能なものは、どんどん微分していくことになります。

まずは、 $f(x)=\sin x$ の微分を考えてみます。ここで使うのは、加法定理（参考：【標準】三角関数の加法定理の証明#加法定理のまとめ）と、次の公式\[ \lim_{h\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \]です（参考：【基本】三角関数の極限）。これらを使って定義通りに微分を計算してみます。
\begin{eqnarray} & & \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\[5pt] &=& \lim_{h\to 0} \frac{\sin x\cos h +\cos x\sin h-\sin x}{h} \\[5pt] &=& \lim_{h\to 0} \left\{ \sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\cdot \frac{\sin h}{h} \right\} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、後半部分は $\cos x\cdot 1$ に収束することがわかります。前半部分は、【標準】三角関数の極限の3問目で見たように、相互関係を使います。これにより \begin{eqnarray} & & \lim_{h\to0} \frac{\cos h-1}{h} \\[5pt] &=& \lim_{h\to0} \frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} \\[5pt] &=& \lim_{h\to0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h+1)} \\[5pt] &=& \lim_{h\to0} \frac{\sin h}{h}\cdot \frac{-\sin h}{\cos h+1} \\[5pt] &=& 1\cdot \frac{0}{2}=0 \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。以上から \begin{eqnarray} & & \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\[5pt] &=& \lim_{h\to 0} \left\{ \sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\cdot \frac{\sin h}{h} \right\} \\[5pt] &=& \sin x\cdot0 +\cos x\cdot 1 \\[5pt] &=& \cos x \end{eqnarray}となることがわかります。よって、\[ (\sin x)'=\cos x \]となります。

cosの微分

$\cos$ の微分も、 $\sin$ のときのように定義から計算してもいいのですが、【標準】一般角の三角関数と鋭角の三角関数で見たように、\[ \cos x=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) \]と書けることを使うと楽ができます。これ自体は、右辺に対して加法定理を使えば示すことができます。また、【標準】三角関数のグラフでは、 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ のグラフが $\dfrac{\pi}{2}$ だけズレている、ということに対応することも見ました。

ここでは、この式を、合成関数だと考えることにして、合成関数の微分を使いましょう。【基本】合成関数の微分で見たように、 $u=x+\dfrac{\pi}{2}$ とし、 $y=\sin u$ とすると、
\begin{eqnarray} \dfrac{dy}{dx} &=& \dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx} \\[5pt] &=& \cos u \cdot \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)' \\[5pt] &=& \cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=& -\sin x \end{eqnarray}となります。最後は、加法定理からわかります（他にも考え方はあります）。これより、\[ (\cos x)'=-\sin x \]が成り立つことがわかります。

tanの微分

さて、最後に、 $\tan$ の微分を考えましょう。相互関係から $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ が成り立ちます。ここで、商の微分を使いましょう（参考：【基本】商の微分）。分母・分子の微分も計算できるので
\begin{eqnarray} (\tan x)' &=& \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' \\[5pt] &=& \dfrac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{(\cos x)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} \\[5pt] &=& \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。