【標準】三角関数の和から積への公式

ここでは、三角関数の和を積に変換する公式を見ていきます。

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三角関数の和から積への公式

【標準】三角関数の積から和への公式では、三角関数の積を、和や差に分解する式を見ました。ここでは、逆に、和を積にする式を見ていきます。

どちらかというと、当面は和から積に変換することが多いです。例えば、ある三角関数の和が $0$ になるときを求めたいとしましょう。そのとき、和のまま考えるよりも、積の形にできたほうがいいですね。積にすれば、それぞれが $0$ になるときを考えればいいので、解きやすくなります。

さて、上のリンク先にある、積から和に変形する式を見てみましょう。
\begin{eqnarray}
\sin\alpha\cos\beta &=& \dfrac{1}{2} \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\}
\end{eqnarray}上のリンク先では、左辺を右辺に変形する、と考えましたが、今度は逆に、 $\sin A+\sin B$ を積の形にしたい、と考えます。右辺を変形して左辺の形に持っていくということですね。

$\alpha+\beta=A$, $\alpha-\beta=B$ となるようにするには、 $\alpha=\dfrac{A+B}{2}$, $\beta=\dfrac{A-B}{2}$ とすればいいので、結局次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sin A+\sin B &=& 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
\end{eqnarray}

例えば、これを使うと、 $\sin 4x+\sin x=0$ となるときを考えたい場合には、直接考えるよりも、和から積の公式を使って\[ 2\sin\frac{5}{2}x\cos\frac{3}{2}x=0 \]として考えたほうが、答えが求めやすくなりますね。

他も同じように、積から和の公式を逆に用いることで、和から積の公式を得ることができます。 $\cos\alpha\sin\beta$ の式を変形すれば
\begin{eqnarray}
\sin A-\sin B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
\end{eqnarray}が得られます。また、 $\cos\alpha\cos\beta$ の式を変形すれば
\begin{eqnarray}
\cos A+\cos B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
\end{eqnarray}が得られ、 $\sin\alpha\sin\beta$ の式を変形すれば
\begin{eqnarray}
\cos A-\cos B &=& -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
\end{eqnarray}が得られます。

ここで挙げた4つの式は、和から積に分解するので、和積の公式などと呼ばれています。

三角関数の和から積への公式
\begin{eqnarray}
\sin A+\sin B &=& 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\[5pt] \sin A-\sin B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\[5pt] \cos A+\cos B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\[5pt] \cos A-\cos B &=& -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}

4つの式を見てもわかりますが、和や差は、 $\sin$ 同士の和・差、 $\cos$ 同士の和・差に関するものであることに注意です。

和から積、積から和の公式はそれぞれがよく似ていて、しかも使用頻度がそれほど高いというわけでもないので、使うときにはよく間違ってしまいます。 $2$ がどこにつくのか、符号がどこにつくのか、などです。

使用頻度から考えれば、覚えてしまうよりも、都度、導くほうが安全ではないかと思います。まず、加法定理から和積の公式を導き、それをもとに積和の公式を用いる。和を積に分解したり、積を和に分解する公式があったな、ということだけは覚えておいて、問題で出くわすたびに導くほうがいいと思います。(語呂合わせで覚える、という人もいると思いますが)

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和から積への公式を使った問題

和から積への公式を使って問題を解く例を見てみましょう。 $0\lt \theta\lt \pi$ のとき、\[ \sin 4\theta-\sin2\theta\gt 0 \]を満たす $\theta$ を求めてみます。

これを求めるには、和から積への公式の2つ目を用いて
\begin{eqnarray}
2\cos 3\theta \sin \theta \gt 0
\end{eqnarray}と変形し、 $\cos 3\theta$ と $\sin \theta$ の両方が同じ符号になるときを考えればいいですね。今考えている $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲では、 $\sin \theta$ は正なので、 $\cos 3\theta$ が正になる範囲を考えればよく、\[ 0\lt \theta\lt \dfrac{1}{6}\pi,\dfrac{1}{2}\pi \lt \theta\lt \frac{5}{6}\pi \]となります。これが答えです。

また、別の解き方として、2倍角の公式を用いる方法もあります。
\begin{eqnarray}
\sin 4\theta-\sin2\theta & \gt & 0 \\[5pt] 2\sin 2\theta\cos 2\theta-\sin2\theta & \gt & 0 \\[5pt] \sin 2\theta(2\cos 2\theta-1) & \gt & 0 \\[5pt] \end{eqnarray}これより、 $\sin 2\theta \gt 0$, $\cos 2\theta\gt \dfrac{1}{2}$ を解けば、 $0\lt \theta\lt \dfrac{1}{6}\pi$ が得られ、 $\sin 2\theta \lt 0$, $\cos 2\theta\lt \dfrac{1}{2}$ を解けば、 $\dfrac{1}{2}\pi \lt \theta\lt \dfrac{5}{6}\pi$ が得られます。先ほどと同じ答えが得られます。

三角関数の分野では、使える公式がたくさんあるので、どれを使うかによって、問題が解きやすくなったり、解きにくくなったり、時には解けなくなってしまうこともあります。練習や試行錯誤が必要です。

おわりに

ここでは、三角関数の和から積への公式を見ました。使用頻度はそれほど高くはないですが、等式や不等式を解くために必要な場面は出てきます。使い方に慣れておきましょう。