【標準】三角関数の加法定理以降の公式まとめ

ここでは、三角関数の加法定理以降に出てくるいろいろな公式をまとめます。導き方の簡単な説明と、ページへのリンクをまとめていきます。

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三角関数の加法定理

まず、すべての基本である、三角関数の加法定理。これは少なくとも覚えるほど使い慣れておく必要があります。

正弦・余弦・正接の加法定理
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\[5pt] \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\[5pt] \tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[5pt] \tan(\alpha-\beta) &=& \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{eqnarray}

差の方は、和で $\beta$ を $-\beta$ に置き換えるだけなので、普通は和の方だけ覚えておけばいいでしょう。

図形的に思い出すなら、【基本】図で理解する正弦・余弦の加法定理を見ましょう。また、式が間違っていないことを確かめる方法などは、【基本】加法定理をどう覚えるか、あるいは、どう思い出すかを参考にしましょう。証明の方法自体は、【標準】三角関数の加法定理の証明が参考になるでしょう。

以下の公式は、すべてこの加法定理から導かれます。

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2倍角・半角・3倍角の公式

加法定理の和の方の式で、 $\beta=\alpha$ とおくことで、2倍角の公式が導けます。

2倍角の公式
\begin{eqnarray}
\sin 2\alpha &=& 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos 2\alpha &=& \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha \\
&=& 1-2\sin^2\alpha \\
&=& 2\cos^2\alpha-1 \\
\tan 2\alpha &=& \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \\[5pt] \end{eqnarray}

$\cos$ の式では、相互関係を使っています。これにより、 $\sin$ だけの式や $\cos$ だけの式に変形することができます。【標準】2倍角の公式では、2倍角の公式を使って、三角関数の値を求めたり等式を示す例題を取り上げています。

$\cos$ の2倍角の公式を変形することで、半角の公式が得られます。

半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos \alpha}{2} \\[5pt] \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1+\cos \alpha}{2} \\[5pt] \tan^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \\[5pt] \end{eqnarray}

すべて、 $\cos$ を使った式に変形することができます。左辺には2乗がついていることに注意しましょう。半角の公式を使った例題は、【標準】半角の公式で取り上げています。

また、加法定理を繰り返し用いて、3倍角の三角関数を考えることもできます。

3倍角の公式
\begin{eqnarray}
\sin 3\alpha &=& 3\sin \alpha -4\sin^3 \alpha \\[5pt] \cos 3\alpha &=& -3\cos \alpha +4\cos^3 \alpha \\[5pt] \end{eqnarray}

導き方などは、【標準】3倍角の公式で取り上げています。

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積から和・和から積の公式

加法定理に出てくる式を辺々足したり引いたりすることで、三角関数同士の積を和や差に変形することができます。詳しい方法は、【標準】三角関数の積から和への公式で取り上げています。

三角関数の積から和への公式
\begin{eqnarray}
\sin\alpha\cos\beta &=& \dfrac{1}{2} \left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right\} \\[5pt] \cos\alpha\sin\beta &=& \dfrac{1}{2} \left\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) \right\} \\[5pt] \cos\alpha\cos\beta &=& \dfrac{1}{2} \left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right\} \\[5pt] \sin\alpha\sin\beta &=& -\dfrac{1}{2} \left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) \right\}
\end{eqnarray}

この式を逆に用いることで、和や差を積の形に変形することもできます。そうすることで、例えば $\sin$ 同士の和が0になるときや正になるときが求めやすくなります。

三角関数の和から積への公式
\begin{eqnarray}
\sin A+\sin B &=& 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\[5pt] \sin A-\sin B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\[5pt] \cos A+\cos B &=& 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\[5pt] \cos A-\cos B &=& -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}

導出方法や例題を、【標準】三角関数の和から積への公式で扱っています。

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三角関数の合成

$\sin \theta+\sqrt{3}\cos\theta$ などの和を、加法定理の右辺から左辺への変形を使って、 $2\sin \left(\theta+\dfrac{1}{3}\pi\right)$ などと変形することを、三角関数の合成といいます。このように変形することで、これが $0$ になるのはいつか、最大値・最小値をとるときはいつか、などが考えやすくなります。

三角関数の合成
$a\sin\theta+b\cos\theta$ は、 $r\sin(\theta+\alpha)$ と合成できる。ここで、 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ であり、 $\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。

【標準】三角関数の合成では、どのように合成を使うかを簡単に説明しています。

おわりに

ここでは、加法定理以降で出てくる、三角関数の公式をまとめました。基本的には、加法定理からすべて導かれます。が、そうはいっても多すぎです。しかも、どれをどの問題で使うかは、慣れていないとなかなか難しいでしょう。

ここで見た公式は、将来、三角関数の微分・積分を学ぶ際にも頻繁に使うようになります。ササっと導けるようにしておきましょう。