【応用】半角の公式を図形的に考えてみる

ここでは、二等辺三角形を用いて、半角の公式を図形的に考えてみることにします。ここの内容は、正式な証明ではなく、知らなくても問題ないのですが、理解を深めるために見ていきます。

【広告】

半角の公式を図形的に考える準備

【標準】半角の公式で見たように、半角の公式は、次のような内容でした。
\begin{eqnarray}
\sin^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos \alpha}{2} \\[5pt] \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1+\cos \alpha}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}$\tan$ もありますが、ここでは、この2つについて取り上げます。

ここで、 $\mathrm{ AB=AC }=1$ で、 $\angle \mathrm{ A }=\alpha$ の二等辺三角形を考えてみましょう。

BC の中点を M とすれば、 $\angle \mathrm{ BAM }=\dfrac{\alpha}{2}$ となりますね。

このことから、 $\mathrm{ AM }=\cos\dfrac{\alpha}{2}$ $\mathrm{ BM }=\sin\dfrac{\alpha}{2}$ が成り立つことがわかります。さらに、 M から辺 AB に垂線を下ろして、辺 AB と交わる点を P としましょう。

こうすると、三角形 AMP で考えれば、 AP の長さが $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ となることがわかります。これは、半角の公式で出てきたものですね。

続いて、この図のどこに $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ があらわれているかを考えてみましょう。 $\angle \mathrm{ BAM }$ も $\angle \mathrm{ BMP }$ も、 $\angle \mathrm{ AMP }$ を足せば90度なので、 $\angle \mathrm{ BMP }=\angle \mathrm{ BAM }=\dfrac{\alpha}{2}$ となることがわかります。よって、三角形 BMP で考えれば、 BP の長さが $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ であることがわかります。

半角の $\sin, \cos$ の2乗が出てきました。これを $\alpha$ で表すとどうなるかを見ていきましょう。

【広告】

半角の公式を図形的に考える

現時点での図をおさらいしておきましょう。 $\mathrm{ AB=AC }=1$ で、 $\angle \mathrm{ A }=\alpha$ の二等辺三角形を考え、 BC の中点を M とし、 M から AB に下した垂線の足を P としたのでした。

このとき、 AP, BP は、それぞれ、 $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$, $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ となるのでしたね。

ここで、少し視点を変えて、 C から AB に下した垂線を考えてみましょう。 AB との交点を Q とすると、 AQ は $\cos\alpha$ になるので、 BQ の長さは $1-\cos\alpha$ となります。半角の公式が見えてきましたね。

また、 MPCQ は平行で、 $\mathrm{ BM=CM }$ なので、 $\mathrm{ BP=PQ }$ が成り立ちます。 $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ は、 BP の長さだったので、BQ の半分だから\[ \sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2} \]となることがわかります。

$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$ は、 AP の長さでした。これは、 AQ に、 BQ の半分を足せばいいので
\begin{eqnarray}
\cos^2\dfrac{\alpha}{2}
&=& \cos\alpha+\frac{1-\cos\alpha}{2} \\[5pt] &=& \frac{1+\cos\alpha}{2}
\end{eqnarray}となります(もちろん、 $1-\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ と考えて計算しても構いません)。

こうして、2つの半角の公式が得られました。

おわりに

ここでは、二等辺三角形を使って、半角の公式を図形的に考えてみました。ここで取り上げている角は一般角ではないので正しい証明ではないですが、理解を深めるのに役立つと思います。