【標準】半角の公式

ここでは、半角の公式について見ていきます。

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半角の公式

2倍の角に関する三角関数を求める公式がありました(参考:【標準】2倍角の公式)。倍があるのだから、逆に、半分に関する公式もあります。

$\cos$ の2倍角の公式に、次の形がありました。\[ \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha \]これを変形すると、次のようになります。\[ \sin^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha}{2} \]この式について、「右辺が分かっていれば、左辺が求められる」と考えると、「 $2\alpha$ の三角関数の値から、 $\alpha$ の三角関数の値がわかる」となります。つまり、半分の角についての三角関数の値がわかる、ということです。もう少しわかりやすく書くために、 $\alpha$ の部分を $\dfrac{\alpha}{2}$ で置き換えてみましょう。\[ \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos \alpha}{2} \]となります。これが $\sin$ の半角(半分の角)に関する式です。

$\cos$ は、2倍角の次の形を利用します。\[ \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \]これを変形すれば\[ \cos^2 \alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2} \]となります。先ほどと同じように $\alpha$ を置き換えて\[ \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} =\frac{1+\cos \alpha}{2} \]となります。これが $\cos$ の半角に関する式です。

$\tan$ については、この2つの式から
\begin{eqnarray}
\tan^2 \frac{\alpha}{2}
&=&
\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \\[5pt] &=&
\frac{1-\cos \alpha}{2} \times \frac{2}{1+\cos \alpha} \\[5pt] &=&
\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

これらは、まとめて半角の公式と呼ばれます。ちょっと注意が必要なのは、 $\dfrac{\alpha}{2}$ に関する三角関数の値ではなく、2乗した値が得られる、という点です。

半角の公式
\begin{eqnarray}
\sin^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos \alpha}{2} \\[5pt] \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1+\cos \alpha}{2} \\[5pt] \tan^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \\[5pt] \end{eqnarray}

すべて $\cos$ を使った式になります。

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半角の公式を使って三角関数の値を求める

例題
$\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi$ で、 $\cos\alpha=-\dfrac{1}{3}$ のとき、 $\sin\dfrac{\alpha}{2}$, $\cos\dfrac{\alpha}{2}$, $\tan\dfrac{\alpha}{2}$ の値を求めなさい。

半角の公式は、値の2乗が得られることに注意します。つまり、符号は別に考える必要がある、ということです。

今、 $\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi$ なので、 $\dfrac{\pi}{4}\lt\dfrac{\alpha}{2}\lt\dfrac{\pi}{2}$ です。よって、
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\alpha}{2}
&=&
\sqrt{\frac{1}{2} \left\{1- \left(-\frac{1}{3}\right)\right\}} \\[5pt] &=&
\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} \\[5pt] &=&
\frac{\sqrt{6}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。また、
\begin{eqnarray}
\cos \frac{\alpha}{2}
&=&
\sqrt{\frac{1}{2} \left\{1+ \left(-\frac{1}{3}\right)\right\}} \\[5pt] &=&
\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} \\[5pt] &=&
\frac{\sqrt{3}}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\tan$ はこの2つから
\begin{eqnarray}
\tan \frac{\alpha}{2}
&=&
\frac{\sqrt{6}}{3} \div \frac{\sqrt{3}}{3} \\[5pt] &=&
\sqrt{2}
\end{eqnarray}となります。

おわりに

ここでは、半角の公式について見てきました。2乗がついていることを忘れやすいので、忘れないようにしましょう。不安な場合は、60度などを代入してみて、式が成り立つか確認してみましょう。