【標準】三角関数の合成

ここでは、 $\sin$ と $\cos$ をそれぞれ定数倍して足したものを、 $\sin$ だけで書くという、三角関数の合成について見ていきます。

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三角関数の合成

【標準】三角関数の和から積への公式では、 $\sin$ 同士の和・差や $\cos$ 同士の和・差を、積の形に変形する式を見ました。これによって、方程式や不等式が考えやすくなることがあります。

以下で見る、三角関数の合成も、方程式や不等式を考えやすくするための変形です。

次のような式を考えます。\[ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta \]上のリンク先で見た「和から積」の公式では、角度が違う場合を考えましたが、三角関数の合成では角度は同じものを扱います。

また、「和から積」の公式のときと異なるのは、係数が $\pm1$ ではない、という点です。そのため、「和から積」の公式を使うことはできません。

このままの式では、例えばこれが正になるときや、これが最大になるときなどは、すぐにはわかりません。角度が動くと、 $\sin$ も $\cos$ も両方動いてしまうからです。

両方一緒に動くと考えづらいので、1つにまとめられればうれしいですね。そこで、この式を、無理やり、「加法定理を使って展開した式だ」と思い込むことにしましょう。そうして、\[ \sin(\theta+\alpha) \]の形にうまく変形できないかを考えます。この式に加法定理を使えば\[ \sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha \]となります。これと先ほどの式\[ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta \]を見比べてみましょう。 $\sin\theta$ の部分を見れば $\cos\alpha=1$ で、 $\cos\theta$ の部分を見れば $\sin\alpha=\sqrt{3}$ となっていればいいですが、そんな $\alpha$ は存在しません。なぜなら、相互関係 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ が成り立たないからです。

しかし、ここであきらめてはいけません。 $\cos\alpha:\sin\alpha=1:\sqrt{3}$ という対応から考えると、 $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ とすればいいんじゃないか、と考えられます。つまり、定数倍をするわけです。係数が合うように次のように変形しましょう。
\begin{eqnarray}
& &
2\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \\[5pt] &=&
2\sin \theta\cos\dfrac{\pi}{3} +2\cos \theta\sin\dfrac{\pi}{3} \\[5pt] &=&
\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta \\[5pt] \end{eqnarray}こうなり、もともと考えていた式になります。よって、\[ \sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta=2\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \]と変形できることがわかります。左辺の形ではよくわかりませんでしたが、右辺の形を見ると、これが $0$ になるときというのは、 $n\pi-\dfrac{\pi}{3}$ (n は整数)のときであることがわかります。また、最大値が $2$ で最小値は $-2$ であることがわかります。右辺の形に変形すると便利だということがわかりますね。

このように、 $a\sin\theta+b\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変える変形のことを、三角関数の合成といいます。ところで、 $r$ や $\alpha$ はどうやって出すのでしょうか。 $a,b,\theta$ とどのような関係があるのかがわからないと、合成することができません。そこで、合成後の式を加法定理を使って元に戻して考えてみます。
\begin{eqnarray}
& &
r\sin(\theta+\alpha) \\[5pt] &=&
r\sin\theta\cos\alpha+r\cos\theta\sin\alpha \\[5pt] \end{eqnarray}この式で、 $\sin\theta,\cos\theta$ の係数の2乗同士を足すと、 $r^2$ となり、合成前は $a^2+b^2$ なので、 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ とすればいいことがわかります(マイナスの方を採用することもできますが、とりあえずここではプラスの方を考えましょう)。

このことから、係数を比較して、 $\alpha$ は\[ \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \]を満たしていればいいことがわかります。このような $\alpha$ は、 $0$ 以上 $2\pi$ 未満の中に1つだけ存在します。それを採用すればいいですね。

合成の方法は1通りではありません。合成後は、方程式を解いたり、最大値・最小値を求めたりするのに使います。合成の方法が変わったとしても、本質的な違いはないため、考えやすい数字を使って合成すればいいです。先ほど $r$ を定めるのにプラスの方を採用しましたが、この方が考えやすいので普通はこちらを採用します。

三角関数の合成
$a\sin\theta+b\cos\theta$ は、 $r\sin(\theta+\alpha)$ と合成できる。ここで、 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ であり、 $\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。

例えば、 $0\leqq x \lt 2\pi$ の範囲で $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$ を解いてみましょう。左辺を合成して $2\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1$ とすれば、 $x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{6}\pi,\dfrac{5}{6}\pi$ なので、 $x=\dfrac{1}{2}\pi,\dfrac{7}{6}\pi$ と求められます。

なお、 $\alpha$ は、具体的に求められる角とは限りません。例えば、 $0\leqq x \lt 2\pi$ の範囲で $3\sin x+4\cos x$ の最大値・最小値を考えてみましょう。これは、合成によって、\[ 5\sin(x+\alpha) \]と書けます。ここで、 $\alpha$ は、 $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$, $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ を満たす角です。具体的には何度かはわかりませんが、こういう角が存在することはわかります。こう変形すると、最大値が $5$ で、最小値が $-5$ であることがわかります。合成によって、かなり考えやすくなります。

ちなみに、正しく合成できているか、係数や角度があっているかどうかは、加法定理を使ってばらしてやればすぐにわかります。不安なときにはチェックしましょう。

おわりに

ここでは、三角関数の合成について見ました。 $\sin$ や $\cos$ の定数倍同士の和を考えるときに、よく使われます。加法定理を使っていることからもわかる通り、角度が同じでないといけない点に注意しましょう。