【応用】sinθとcosθの和の最大・最小

ここでは、三角関数の問題でよく出てくる、 $\sin\theta+\cos\theta$ の最大・最小について見ていきます。

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sinθとcosθの和と合成

三角関数の問題を解いていて、途中で $\sin\theta+\cos\theta$ の最大・最小を考える場面がよく出てきます。ただ、 $\theta$ が動くと $\sin$ も $\cos$ も両方動くので、考えづらいですね。このような場合には、三角関数の合成を使うとうまくいきます。

【標準】三角関数の合成で見たように、この式を $r\sin(\theta+\alpha)$ と変形しましょう。ここで、 $r$ は\[ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \]です。また、 $\alpha$ は、\[ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}} \]なので、 $\dfrac{\pi}{4}$ とすればいいですね。

以上から、\[ \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right) \]と変形できることがわかります。この変形はよく出てくるのでスッとできるようになりましょう。

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sinθとcosθの和と和積の公式

先ほどは $\sin\theta+\cos\theta$ を三角関数の合成を用いて式変形をしましたが、和積の公式を使って式変形をすることもできます。

ただ、【標準】三角関数の和から積への公式で見たように、 $\sin$ 同士の和や $\cos$ 同士の和に関する公式はありますが、 $\sin\theta+\cos\theta$ のように種類が違うものはありません。

しかし、【標準】一般角の三角関数と鋭角の三角関数で見たように、 $\theta+\dfrac{1}{2}\pi$ を使った次の式\[ \sin \left(\theta+\dfrac{1}{2}\pi\right)=\cos\theta \]を使う(右辺を左辺に変える)ことで、和から積の公式を次のように用いることができます。
\begin{eqnarray}
& &
\sin \theta +\cos \theta \\[5pt] &=&
\sin \theta +\sin \left(\theta+\dfrac{1}{2}\pi\right) \\[5pt] &=&
2\sin \frac{\theta+\left(\theta+\frac{1}{2}\pi\right)}{2} \ \sin \frac{\theta-\left(\theta+\frac{1}{2}\pi\right)}{2} \\[5pt] &=&
2\sin \left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right) \sin \left(-\dfrac{1}{4}\pi\right) \\[5pt] &=&
\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)
\end{eqnarray}先ほどと同じ式が得られます。

sinθとcosθの和の最大・最小

ここまでで見たように、 $\sin\theta+\cos\theta$ は $\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)$ と変形することができます。こうすると、最大・最小はすぐにわかります。

例えば、 $0\leqq \theta \lt 2\pi$ の範囲なら、 $\theta+\dfrac{1}{4}\pi=\dfrac{1}{2}\pi$ のとき、つまり、 $\theta=\dfrac{1}{4}\pi$ のときに最大値 $\sqrt{2}$ をとることがわかります。また、 $\theta+\dfrac{1}{4}\pi=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき、つまり、 $\theta=\dfrac{5}{4}\pi$ のときに最小値 $-\sqrt{2}$ をとることがわかります。

三角関数の合成を使うことで、動くものが1つになり、動きが考えやすくなりますね。

おわりに

ここでは、 $\sin\theta+\cos\theta$ の最大・最小を方法を見ました。合成を使って1つにまとめてから考えると、わかりやすくなります。