【標準】三角関数などの微分と極限値

🕒 2018/09/28 🔄 2023/05/01

ここでは、三角関数や指数関数の微分を用いて、極限値を求める問題を見ていきます。微分係数とは極限の一種なので、これを別の極限値の計算に利用しよう、ということです。

📘 目次

微分係数を使って極限値を表すその１

例題1

次の極限値を求めなさい。\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x} \]

$x=0$ とすると、分母も分子も $0$ になってしまいます。このような場合は「不定形」と呼ばれ、式変形をしてから計算をする必要があります。

そもそも分子がなぜ $0$ になってしまうかというと、分子にある $1$ が $e^0$ と等しいからですね。つまり、\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-e^0}{x} \]と変形できます。この分子をよく見ると、微分係数の定義と似た形をしていますね。 $f'(a)$ の定義は\[ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]でした。今の場合、 $f(x)=e^{3x}$, $a=0$ とすれば、例題の式が出てきます。合成関数の微分を使えば、 $f'(x)=3e^{3x}$ と計算できるので、極限値は $f'(0)=3$ と求めることができます。

また、 $e^{3x}$ ではなく、 $e^x$ を使う方法もあります。 $g(x)=e^x$ と置くと、分子は $g(3x)-g(0)$ と変形できます。微分係数の定義をそのまま使うには、分子と分母は対応している必要があるので、分母は\[ 3x-0 \]とならなければいけません。よって、以下のように変形して計算します。
\begin{eqnarray} & & \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x} \\[5pt] &=& \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-e^0}{3x-0} \times 3 \\[5pt] &=& e^0 \times 3=3 \\[5pt] \end{eqnarray}2行目から3行目に移るときに、 $g'(0)=e^0$ であることを使っています。

このように、極限値を計算するときに微分係数が利用できる場合があります。分母と分子の $x$ の対応をあわせ、どのような関数の微分を利用するか、を考えるようにしましょう。

微分係数を使って極限値を表すその２

例題2

次の極限値を求めなさい。\[ \lim_{x\to \frac{\pi}{3} }\frac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{x^3-\frac{\pi^3}{27} } \]

これも、 $x=\dfrac{\pi}{3}$ としたときに、分母・分子は $0$ になるので、工夫が必要となります。

分子を見ると、 $\sin$ の微分が利用できるのではないか、と考えられますが、分母が $x-\frac{\pi}{3}$ の形にはなっていません。しかし、分母を因数分解すると、出てきます。
\begin{eqnarray} & & \lim_{x\to \frac{\pi}{3} }\frac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{x^3-\frac{\pi^3}{27} } \\[5pt] &=& \lim_{x\to \frac{\pi}{3} }\frac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \left(x^2+\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi^2}{9}\right)} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、\[ \frac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{x-\frac{\pi}{3} } \]の部分は、 $\sin$ の微分が使えます。 $f(x)=\sin x$ とすると、 $f'(x)=\cos x$ なので、 $x\to \dfrac{\pi}{3}$ とすると、 $\dfrac{1}{2}$ に収束することがわかります。また、残りの部分も $0$ でない値に収束するので、 \begin{eqnarray} & & \lim_{x\to \frac{\pi}{3} }\frac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{x^3-\frac{\pi^3}{27} } \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{\frac{\pi^2}{9}+\frac{\pi^2}{9}+\frac{\pi^2}{9} } \\[5pt] &=& \frac{3}{2\pi^2} \end{eqnarray}となります。これが答えです。

先ほどの解き方では、微分係数の定義を用いるには、分母に $x-\dfrac{\pi}{3}$ が必要だったので、分母を因数分解しました。因数分解できる場合はもちろんこれでもいいのですが、別の方法として、次のように $x-\dfrac{\pi}{3}$ をひねり出す方法もあります。\[ \lim_{x\to \frac{\pi}{3} } \frac{\dfrac{\sin x-\sin \frac{\pi}{3} }{x-\frac{\pi}{3} }}{\dfrac{x^3-\frac{\pi^3}{27} }{x-\frac{\pi}{3} }} \]こうすると、分子では $\sin x$ の微分が使えます。また、分母もよく見ると、 $x^3$ の微分が使えることがわかるでしょう。 $f(x)=\sin x$, $g(x)=x^3$ とすると、この極限は\[ \frac{f'\left(\frac{\pi}{3}\right)}{g'\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]となることがわかります。これを計算することで、極限値を $\dfrac{3}{2\pi^2}$ と求めることもできます。