共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第1問 [2] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$3次関数 $f(x)$ は、 $x=-1$ で極小値 $-\dfrac{4}{3}$ をとり、 $x=3$ で極大値をとる。また、曲線 $y=f(x)$ は点 $(0,2)$ を通る。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は $\myBox{カ}$ 次関数であり、 $f'(x)$ は\[ \left(x+\myBox{キ}\right)\left(x+\myBox{ク}\right) \]で割り切れる。

(2)
\begin{eqnarray}
f(x)=\dfrac{\myBox{ケコ}}{\myBox{サ}}x^3+\myBox{シ}x^2+\myBox{ス}x+\myBox{セ}
\end{eqnarray}である。

(3) 方程式 $f(x)=0$ は、三つの実数解をもち、そのうち負の解は $\myBox{ソ}$ 個である。

 また、 $f(x)=0$ の解を $a,b,c$ $(a\lt b\lt c)$ とし、曲線 $y=f(x)$ の $a\leqq x\leqq b$ の部分と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $S$ 、曲線 $y=f(x)$ の $b\leqq x\leqq c$ の部分と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $T$ とする。

 このとき\[ \int_a^c f(x)dx=\myBox{タ} \]である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 8 のうちから一つ選べ。

 0: $0$
 1: $S$
 2: $T$
 3: $-S$
 4: $-T$
 5: $S+T$
 6: $S-T$
 7: $-S+T$
 8: $-S-T$

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考え方

極値やグラフの通る点からもとの関数を求めるのは、微分積分の問題では典型的な問題です。

(3)の後半は、具体的な値が出てこないので考えにくいかもしれません。区間をわけて、どういう式で求められるかを考えてみましょう。

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