共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第5問 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 右の図のような立体を考える。ただし、六つの面 OAC, OBC, OAD, OBD, ABC, ABD は1辺の長さが $1$ の正三角形である。この立体の $\angle \mathrm{ COD }$ の大きさを調べたい。

 線分 AB の中点を M、線分 CD の中点を N とおく。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{b}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=\vec{c}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OD } }=\vec{d}$ とおくとき、次の問いに答えよ。

(i) 次の $\myBox{ア}$ ~ $\myBox{エ}$ に当てはまる数を求めよ。
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{ \mathrm{ OM } }=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\ (\vec{a}+\vec{b}) \\[5pt] & & \overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\dfrac{\mybox{ア}}{\mybox{イ}}\ (\vec{c}+\vec{d}) \\[5pt] & & \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{d} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{b}\cdot\vec{d} =\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}} \\[5pt] \end{eqnarray}

(ii) 3点 O, N, M は同一直線上にある。内積 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CN } }$ の値を用いて、 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=k\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }$ を満たす $k$ の値を求めよ。\[ k=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \]

(iii) $\angle \mathrm{ COD }=\theta$ とおき、 $\cos\theta$ の値を求めたい。次の方針1または方針2について、 $\myBox{キ}$ ~ $\myBox{シ}$ に当てはまる数を求めよ。

方針1

$\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表すと、\[ \vec{d}=\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\vec{a} +\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}\vec{b} -\vec{c} \]であり、 $\vec{c}\cdot\vec{d}=\cos\theta$ から $\cos\theta$ が求められる。

方針2

$\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ のなす角を考えると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=|\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }|\ |\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }|$ が成り立つ。 $|\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }|^2 = \dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}+\dfrac{1}{2}\cos\theta$ であるから、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$, $|\overrightarrow{ \mathrm{ OM } }|$ の値を用いると、 $\cos\theta$ が求められる。

(iv) 方針1または方針2を用いて $\cos\theta$ の値を求めよ。\[ \cos\theta=\dfrac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソ}} \]


(2) (1) の図形から、四つの面 OAC, OBC, OAD, OBD だけを使って、下のような図形を作成したところ、この図形は $\angle \mathrm{ AOB }$ を変化させると、それにともなって $\angle \mathrm{ COD }$ も変化することがわかった。

 $\angle \mathrm{ AOB }=\alpha$, $\angle \mathrm{ COD }=\beta$ とおき、 $\alpha\gt 0$, $\beta\gt 0$ とする。このときも、線分 AB の中点と線分 CD の中点および点 O は一直線上にある。

(i) $\alpha$ と $\beta$ が満たす関係式は(1)の方針2を用いると求めることができる。その関係式として正しいものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。 $\myBox{タ}$

 0: $\cos\alpha+\cos\beta=1$

 1: $(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)=1$

 2: $(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)=-1$

 3: $(1+2\cos\alpha)(1+2\cos\beta)=\dfrac{2}{3}$

 4: $(1-\cos\alpha)(1-\cos\beta)=\dfrac{2}{3}$

(ii) $\alpha=\beta$ のとき、 $\alpha=\myBox{チツ}\ ^{\circ}$ であり、このとき、点 D は $\myBox{テ}$ にある。 $\myBox{チツ}$ に当てはまる数を求めよ。また、 $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 2 のうちから一つ選べ。

 0: 平面 ABC に関して O と同じ側

 1: 平面 ABC

 2: 平面 ABC に関して O と異なる側

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当情報は2020年4月時点のものです。最新の配信状況はリンク先サイトにてご確認ください。

考え方

ベクトルについて理解していることはもちろん、空間や図形の把握能力も問われています。さらに、後半は前半と何が違うかを把握したうえで、どの計算や考え方が使い回せるか、どの部分を新しく考えないといけないのかを、正しく認識しなくてはならず、全体的に難しい内容になっています。

前問までで求めた内容のうち、どれを使うといいのかを考えて解いていきましょう。