共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第1問 [3] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\log_{10}2=0.3010$ とする。このとき、 $10^{\myBox{チ}}=2$, $2^{\myBox{ツ}}=10$ となる。 $\myBox{チ}$, $\myBox{ツ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $0$

 1: $0.3010$

 2: $-0.3010$

 3: $0.6990$

 4: $-0.6990$

 5: $\dfrac{1}{0.3010}$

 6: $-\dfrac{1}{0.3010}$

 7: $\dfrac{1}{0.6990}$

 8: $-\dfrac{1}{0.6990}$


(2) 次のようにして対数ものさしAを作る。

対数ものさしA
 2以上の整数 $n$ のそれぞれに対して、1の目盛りから右に $\log_{10}n$ だけ離れた場所に $n$ の目盛りを書く。

(i) 対数ものさしAにおいて、3の目盛りと4の目盛りの間隔は、1の目盛りと2の目盛りの間隔 $\myBox{テ}$ 。 $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 2 のうちから一つ選べ。

 0: より大きい
 1: に等しい
 2: より小さい


 また、次のようにして対数ものさしBを作る。

対数ものさしB
 2以上の整数 $n$ のそれぞれに対して、1の目盛りから左に $\log_{10}n$ だけ離れた場所に $n$ の目盛りを書く。

(ii) 次の図にように、対数ものさしAの2の目盛りと対数ものさしBの1の目盛りを合わせた。このとき、対数ものさしBの $b$ の目盛りに対応する対数ものさしAの目盛りは $a$ になった。

 $a$ と $b$ の関係について、いつでも成り立つ式を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ト}$

 0: $a=b+2$
 1: $a=2b$
 2: $a=\log_{10}(b+2)$
 3: $a=\log_{10}2b$


 さらに、次のようにしてものさしCを作る。

ものさしC
 自然数 $n$ のそれぞれに対して、 0 の目盛りから左に $n\log_{10}2$ だけ離れた場所に $n$ の目盛りを書く。

(iii) 次の図のように対数ものさしAの1の目盛りとものさしCの 0 の目盛りを合わせた。このとき、ものさしCの $c$ の目盛りに対応する対数ものさしAの目盛りは $d$ になった。

 $c$ と $d$ の関係について、いつでも成り立つ式を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ナ}$

 0: $d=2c$
 1: $d=c^2$
 2: $d=2^c$
 3: $c=\log_{10}d$


(iv) 対数ものさしA対数ものさしBの目盛りを一度だけ合わせるか、対数ものさしAものさしCの目盛りを一度だけ合わせることにする。このとき、適切な箇所の目盛りを読み取るだけで実行できるものを、次の 0 ~ 5 のうちからすべて選べ。 $\myBox{ニ}$

 0: $17$ に $9$ を足すこと。
 1: $23$ から $15$ を引くこと。
 2: $13$ に $4$ をかけること。
 3: $63$ を $9$ で割ること。
 4: $2$ を $4$ 乗すること。
 5: $\log_2 64$ の値を求めること。

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125ページ

考え方

対数ものさしを使った問題です。これは実際にあるものですが、この存在を知らなくても解ける問題になっています。とはいえ、初めて聞いて最後まで解ききるのはなかなか大変です。

(2)の(iii)までは、対数ものさしを使って、どのような値が計算できるかを確認する問題です。(i)で2つの目盛りの間隔が問われていますが、(ii)も(iii)も目盛りの間隔に着目して考えます。

最後の(iv)は、(ii)(iii)で得られた内容を応用して考えていきます。ただ、全部正しく答えるのは相当難しいです。(iv)の正答率は 1.3% とのことです。