共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第4問 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$太郎さんと花子さんは、数列の漸化式に関する問題A問題Bについて話している。二人の会話を読んで、下の問いに答えよ。

(1)

問題A

 次のように定められた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
\begin{eqnarray}
& & a_1=6, \\[5pt] & & a_{n+1}=3a_n-8 \quad(n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}

花子:これは前に授業で学習した漸化式の問題だね。まず、 $k$ を定数として、 $a_{n+1}=3a_n-8$ を $a_{n+1}-k=3(a_n-k)$ の形に変形するといいんだよね。

太郎:そうだね。そうすると公比が $3$ の等比数列に結び付けられるね。

(i) $k$ の値を求めよ。\[ k=\myBox{ア} \]

(ii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。\[ a_n=\myBox{イ} \cdot \myBox{ウ}^{n-1} +\myBox{エ} \]


(2)

問題B

 次のように定められた数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。
\begin{eqnarray}
& & b_1=4, \\[5pt] & & b_{n+1}=3b_n-8n+6 \quad(n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}

花子:求め方の方針が立たないよ。

太郎:そういうときは、 $n=1,2,3$ を代入して具体的な数列の様子をみてみよう。

花子: $b_2=10$, $b_3=20$, $b_4=42$ となったけど…。

太郎:階差数列を考えてみたらどうかな。

 数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{p_n\}$ を、 $p_n=b_{n+1}-b_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$ と定める。

(i) $p_1$ の値を求めよ。\[ p_1=\myBox{オ} \]

(ii) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。\[ p_{n+1}=\myBox{カ}p_n-\myBox{キ} \]

(iii) 数列 $\{p_n\}$ の一般項を求めよ。\[ p_n=\myBox{ク}\cdot\myBox{ケ}^{n-1}+\myBox{コ} \]


(3) 二人は問題Bについて引き続き会話をしている。

太郎:解ける道筋はついたけれど、漸化式で定められた数列の一般項の求め方は一通りではないと先生もおっしゃっていたし、他のやり方も考えてみようよ。

花子:でも、授業で学習した問題は、問題Aのタイプだけだよ。

太郎:では、問題Aの式変形の考え方を問題Bに応用してみようよ。問題Bの漸化式 $b_{n+1}=3b_n-8n+6$ を、定数 $s,t$ を用いて\[ \myBox{サ}=3\left(\myBox{シ}\right) \]の式に変形してはどうかな。

(i) $q_n=\myBox{シ}$ とおくと、太郎さんの変形により数列 $\{q_n\}$ が公比 $3$ の等比数列とわかる。このとき、 $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ に当てはまる式を、次の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $b_n+sn+t$

 1: $b_{n+1}+sn+t$

 2: $b_n+s(n+1)+t$

 3: $b_{n+1}+s(n+1)+t$

(ii) $s,t$ の値を求めよ。\[ s=\myBox{スセ},\ t=\myBox{ソ} \]


(4) 問題Bの数列は、(2)の方法でも(3)の方法でも一般項を求めることができる。数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。\[ b_n=\myBox{タ}^{n-1}+\myBox{チ}n-\myBox{ツ} \]


(5) 次のように定められた数列 $\{c_n\}$ がある。
\begin{eqnarray}
& & c_1=16, \\[5pt] & & c_{n+1}=3c_n-4n^2-4n-10 \quad(n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。
\begin{eqnarray}
c_n = \myBox{テ} \cdot \myBox{ト}^{n-1}+\myBox{ナ}n^2+\myBox{ニ}n+\myBox{ヌ}
\end{eqnarray}

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考え方

誘導は丁寧ですが、(3)の解き方はあまり慣れていない人もいるかもしれません。しかし、最後の(5)ではこの方法を応用するか、ヘビーな計算を頑張る方法か、どちらかを選択することになります。どのように解けばいいかは、それまでの流れから予想しやすいですが、答えを出すまでの道のりはハードです。