共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第2問 [2] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 座標平面上に点 A をとる。点 P が放物線 $y=x^2$ 上を動くとき、線分 AP の中点 M の軌跡を考える。

 (i) 点 A の座標が $(0,-2)$ のとき、点 M の軌跡の方程式として正しいものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ト}$

 0: $y=x^2-1$

 1: $y=2x^2-1$

 2: $y=\dfrac{1}{2}x^2-1$

 3: $y=|x|-1$

 4: $y=2|x|-1$

 5: $y=\dfrac{1}{2}|x|-1$

(ii) $p$ を実数とする。点 A の座標が $(p,-2)$ のとき、点 M の軌跡は (i) の軌跡を $x$ 軸方向に $\myBox{ナ}$ だけ平行移動したものである。 $\myBox{ナ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{1}{2}p$

 1: $p$

 2: $2p$

 3: $-\dfrac{1}{2}p$

 4: $-p$

 5: $-2p$

(iii) $p,q$ を実数とする。点 A の座標が $(p,q)$ のとき、点 M の軌跡と放物線 $y=x^2$ との共有点について正しいものを、次の 0 ~ 5 のうちからすべて選べ。 $\myBox{ニ}$

 0: $q=0$ のとき、共有点はつねに2個である。

 1: $q=0$ のとき、共有点が1個になるのは $p=0$ のときだけである。

 2: $q=0$ のとき、共有点は0個、1個、2個のいずれの場合もある。

 3: $q\lt p^2$ のとき、共有点はつねに0個である。

 4: $q=p^2$ のとき、共有点はつねに1個である。

 5: $q\gt p^2$ のとき、共有点はつねに0個である。

(2) ある円 $C$ 上を動く点 Q がある。下の図は定点 $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}_1(-9,0)$, $\mathrm{A}_2(-5,-5)$, $\mathrm{A}_3(5,-5)$, $\mathrm{A}_4(9,0)$ に対して、線分 $\mathrm{OQ}$, $\mathrm{A_1Q}$, $\mathrm{A_2Q}$, $\mathrm{A_3Q}$, $\mathrm{A_4Q}$ のそれぞれの中点の軌跡である。このとき、円 $C$ の方程式として最も適当なものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ヌ}$

 0: $x^2+y^2=1$

 1: $x^2+y^2=2$

 2: $x^2+y^2=4$

 3: $x^2+y^2=16$

 4: $x^2+(y+1)^2=1$

 5: $x^2+(y+1)^2=2$

 6: $x^2+(y+1)^2=4$

 7: $x^2+(y+1)^2=16$

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考え方

センター試験ではあまり出なかった軌跡の問題です。(1)の(i)(ii)は、軌跡の方程式を求めて解くのが普通ですが、選択肢から選ぶだけであれば特別な点から選択肢をしぼることもできます。ただ、(iii)は軌跡の方程式を求めないと解けないでしょう。

(2)は軌跡から逆に考える問題です。ただ、特別な点から選択肢をしぼるのがいいでしょう。円がいっぱいあって大変そうに思うかもしれませんが、実は真ん中の円について考えるだけで答えは求められます。円がいっぱいあるのは、東京オリンピックにちなんで、五輪のマークにしたかったのでしょう。