共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第2問 [1] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$100g ずつ袋詰めされている食品AとBがある。1袋あたりのエネルギーは食品Aが 200kcal、食品Bが 300kcal であり、1袋あたりの脂質の含有量は食品Aが 4g、食品Bが 2g である。

(1) 太郎さんは、食品AとBを食べるにあたり、エネルギーは 1500kcal 以下に、脂質は 16g 以下に抑えたいと考えている。食べる量(g)の合計が最も多くなるのは、食品AとBをどのような量の組合せで食べるときかを調べよう。ただし、一方のみを食べる場合も含めて考えるものとする。

(i) 食品Aを $x$ 袋分、食品Bを $y$ 袋分だけ食べるとする。このとき、 $x,y$ は次の条件①, ②を満たす必要がある。

 摂取するエネルギー量についての条件  $\myBox{ア}$ …①

 摂取する脂質の量についての条件  $\myBox{イ}$ …②

 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまる式を、次の各解答群のうちから一つずつ選べ。

$\myBox{ア}$ の解答群

 0: $200x+300y\leqq 1500$
 1: $200x+300y\geqq 1500$
 2: $300x+200y\leqq 1500$
 3: $300x+200y\geqq 1500$

$\myBox{イ}$ の解答群

 0: $2x+4y\leqq 16$
 1: $2x+4y\geqq 16$
 2: $4x+2y\leqq 16$
 3: $4x+2y\geqq 16$

(ii) $x,y$ の値と条件①,②の関係について正しいものを、次の 0 ~ 3 のうちから二つ選べ。ただし、解答の順序は問わない。 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$

 0: $(x,y)=(0,5)$ は条件①を満たさないが、条件②は満たす。
 1: $(x,y)=(5,0)$ は条件①を満たすが、条件②は満たさない。
 2: $(x,y)=(4,1)$ は条件①も条件②も満たさない。
 3: $(x,y)=(3,2)$ は条件①と条件②をともに満たす。

(iii) 条件①, ②をともに満たす $(x,y)$ について、食品AとBを食べる量の合計の最大値を二つの場合で考えてみよう。

 食品A、Bが1袋を小分けにして食べられるような食品のとき、すなわち $x,y$ のとり得る値が実数の場合、食べる量の合計の最大値は $\myBox{オカキ}$ g である。このときの $(x,y)$ の組は、 $(x,y)=\left(\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}, \dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}\right)$ である。

 次に、食品A、Bが1袋を小分けにして食べられないような食品のとき、すなわち $x,y$ のとり得る値が整数の場合、食べる量の合計の最大値は $\myBox{シスセ}$ g である。このときの $(x,y)$ の組は $\myBox{ソ}$ 通りある。

(2) 花子さんは、食品AとBを合計 600g 以上食べて、エネルギーは 1500 kcal 以下にしたい。脂質を最も少なくできるのは、食品A、Bが1袋を小分けにして食べられない食品の場合、Aを $\myBox{タ}$ 袋、Bを $\myBox{チ}$ 袋食べるときで、そのときの脂質は $\myBox{ツテ}$ g である。

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考え方

健康診断におびえる中年の悩みみたいな問題ですが、それは気にせずに考えましょう。

センター試験のときはほとんど出なかった、線形計画法の問題です。とり得る値が実数の場合は授業でもやると思いますが、整数の場合はあまりやらないかもしれません。ただ、整数の場合はとり得る値の組合せは少ないので、片っ端から試していくことができます。

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