共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第3問 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$昨年度実施されたある調査によれば、全国の大学生の1日あたりの読書時間の平均値は24分で、全く読書をしない大学生の比率は50%とのことであった。大規模P大学の学長は、P大学生の1日あたりの読書時間が30分以上であって欲しいと考えていたので、この調査結果に愕然とした。そこで今年度、P大学生から400人を標本として無作為抽出し、読書時間の実態を調査することにした。次の問いに答えよ。ただし、必要に応じて19ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) P大学生のうち全く読書をしない学生の母比率が、昨年度の全国調査の結果と同じ50%であると仮定する。

 標本400人のうち全く読書をしない学生の人数の平均(期待値)は $\myBox{アイウ}$ 人である。

 また、標本の大きさ400は十分に大きいので、標本のうち全く読書をしない学生の比率の分布は、平均(期待値) $0.\myBox{エ}$ 、標準偏差 $0.\myBox{オカキ}$ の正規分布で近似できる。


(2) P大学生の読書時間は、母平均が昨年度の全国調査結果と同じ24分であると仮定し、母標準偏差を $\sigma$ 分とおく。

(i) 標本の大きさ400は十分に大きいので、読書時間の標本平均の分布は、平均(期待値) $\myBox{クケ}$ 分、標準偏差 $\dfrac{\sigma}{\myBox{コサ}}$ 分の正規分布で近似できる。

(ii) $\sigma = 40$ とする。読書時間の標本平均が30分以上となる確率は $0.\myBox{シスセソ}$ である。

 また、 $\myBox{タ}$ となる確率は、およそ $0.1587$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 大きさ400の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が26分以上

 1: 大きさ400の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が64分以下

 2: P大学の全学生の読書時間の平均が26分以上

 3: P大学の全学生の読書時間の平均が64分以下

 4: 標本400人の読書時間の平均が26分以上

 5: 標本400人の読書時間の平均が64分以下


(3) P大学生の読書時間の母標準偏差を $\sigma$ とし、標本平均を $\bar{X}$ とする。P大学生の読書時間の母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を $A\leqq m \leqq B$ とするとき、標本の大きさ400は十分に大きいので、 $A$ は $\bar{X}$ と $\sigma$ を用いて $\myBox{チ}$ と表すことができる。

(i) $\myBox{チ}$ に当てはまる式を、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。

 0: $\bar{X}-0.95\times\dfrac{\sigma}{20}$

 1: $\bar{X}-0.95\times\dfrac{\sigma}{400}$

 2: $\bar{X}-1.64\times\dfrac{\sigma}{20}$

 3: $\bar{X}-1.64\times\dfrac{\sigma}{400}$

 4: $\bar{X}-1.96\times\dfrac{\sigma}{20}$

 5: $\bar{X}-1.96\times\dfrac{\sigma}{400}$

 6: $\bar{X}-2.58\times\dfrac{\sigma}{20}$

 7: $\bar{X}-2.58\times\dfrac{\sigma}{400}$

(ii) 母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間 $A\leqq m \leqq B$ の意味として、最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ツ}$

 0: 標本400人のうち約95%の学生は、読書時間が $A$ 分以上 $B$ 分以下である。

 1: P大学生全体のうち約95%の学生は、読書時間が $A$ 分以上 $B$ 分以下である。

 2: P大学生全体から95%程度の学生を無作為抽出すれば、読書時間の標本平均は、 $A$ 分以上 $B$ 分以下となる。

 3: 大きさ400の標本を100回無作為抽出すれば、そのうち95回程度は標本平均が $m$ となる。

 4: 大きさ400の標本を100回無作為抽出すれば、そのうち95回程度は信頼区間が $m$ を含んでいる。

 5: 大きさ400の標本を100回無作為抽出すれば、そのうち95回程度は信頼区間が $\bar{X}$ を含んでいる。

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考え方

例年のセンター試験とほぼ同じ内容です。正規分布表を使った確率の計算や、母平均の推定など、よく出てくるものが多いです。計算ができるだけでなく、言葉の意味もおさえておくようにしましょう。

いつもは大問5で出てきますが、大問3に出てきた点が大きく異なります。ベクトルと数列をとろうと思っていた人にとっては、少しびっくりする並びだったかもしれません。