共通テスト 数学II・数学B 2018年度プレテスト 第1問 [1] 解説

2018年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$O を原点とする座標平面上に、点 $\mathrm{A}(0,-1)$ と、中心が O で半径が $1$ の円 $C$ がある。円 $C$ 上に $y$ 座標が正である点 P をとり、線分 OP と $x$ 軸の正の部分とのなす角を $\theta\ (0\lt \theta\lt \pi)$ とする。また、円 $C$ 上に $x$ 座標が正である点 Q を、つねに $\angle \mathrm{POQ}=\dfrac{\pi}{2}$ となるようにとる。次の問いに答えよ。

(1) P, Q の座標をそれぞれ $\theta$ を用いて表すと
\begin{eqnarray}
\mathrm{P} \left(\myBox{ア}, \myBox{イ}\right) \\[5pt] \mathrm{Q} \left(\myBox{ウ}, \myBox{エ}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ア}$ ~ $\myBox{エ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $\sin\theta$
 1: $\cos\theta$
 2: $\tan\theta$
 3: $-\sin\theta$
 4: $-\cos\theta$
 5: $-\tan\theta$

(2) $\theta$ は $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲を動くものとする。このとき線分 AQ の長さ $\ell$ は $\theta$ の関数である。関数 $\ell$ のグラフとして最も適当なものを、次の 0 ~ 9 のうちから一つ選べ。 $\myBox{オ}$

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考え方

(2)は、選択肢がたくさんあってめんどくさそうですが、明らかに間違っているものがたくさんあるので、そんなに大変ではありません。計算だけで選択肢を選ぶのは少し大変ですが、選択肢から選ぶだけなら、特別なケースから消去していって解くこともできます。