センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ab はいずれも0でない実数とする。 x の方程式\[ bx^2+2(2a-b)x+b-4a+3=0\quad\cdots① \]を考える。

(1) 方程式①が異なる二つの実数解をもつのは\[ b\lt\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}a^2 \]のときである。このとき、二つの実数解は\[ x=\dfrac{b-\myBox{ト}a\pm\sqrt{\mybox{ツ}a^2-\mybox{テ}b}}{b} \]である。

(2) $b=a^2$ とする。方程式①が異なる二つの実数解をもち、それらの一方が正の解で他方が負の解であるような a の値の範囲は\[ \myBox{ナ}\lt a \lt \myBox{ニ} \]である。また、方程式①が異なる二つの実数解をもち、それらがいずれも正の解であるような a の値の範囲は\[ a\lt\myBox{ヌ}\ ,\quad a\gt \myBox{ネ} \]である。

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考え方

(1)は判別式や解の公式を使って計算をします。計算量もそれほど多くはありません。

(2)のようなタイプは、グラフを用いて考えることが多いですが、(1)で解を求めているのでこちらを使って考えても構いません。分母にも文字が入っているので、符号に気を付けて考えましょう。