センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=\sqrt{6}$, $\mathrm{ BC }=4$, $\cos\angle \mathrm{ ABC }=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$ とする。
BC 上の点 D を $\mathrm{ BD }=1$ となるようにとり、 $\triangle \mathrm{ ACD }$ の外接円の辺 AB の交点で、点 A とは異なる点を E とする。このとき\[ \mathrm{ BE }\cdot \mathrm{ BA }=\myBox{ア} \]であるから、 $\mathrm{ BE }=\dfrac{\myBox{イ}\sqrt{\myBox{ウ}}}{\myBox{エ}}$ である。

 線分 AD と線分 EC の交点を P とすると\[ \frac{\mathrm{ AP }}{\mathrm{ PD }}=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \]である。 $\mathrm{ AD }=\dfrac{\sqrt{\myBox{キク}}}{\myBox{ケ}}$ であるから、 $\mathrm{ PD }=\dfrac{\sqrt{\myBox{コサ}}}{\myBox{シ}}$ である。また、 $\cos\angle \mathrm{ ADB }=\dfrac{\sqrt{\myBox{スセ}}}{\myBox{ソタ}}$ である。

 次に、 $\triangle \mathrm{ AEP }$ の外接円と直線 BP の交点で、点 P とは異なる点を L とする。\[ \mathrm{ BP }\cdot \mathrm{ BL }=\myBox{チ} \]である。\[ \mathrm{ BD }\cdot \mathrm{ BC }=4 \]であるから、 $\tan\angle \mathrm{ BLC }=\myBox{ツ}\sqrt{\myBox{テ}}$ である。

【広告】

考え方

この分野で学ぶ有名な定理を用いて解いていく問題です。ただ、三角比の内容を使うところが多いので、三角比の内容がわかっていないと詰まるところが多いです。

最後の設問は、途中で $\cos$ の値を求めたことを考えれば、どのように解けばいいか思いつきやすいでしょう。