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センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 c を4以上の整数とする。整数 n に関する二つの条件 p, q を次のように定める。

 p: $n^2-8n+15=0$
 q: $n\gt 2$ かつ $n\lt c$

(1) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 命題「 $p\implies q$ 」の逆は「 $\myBox{ス}$ 」である。また、命題「 $p\implies q$ 」の対偶は「 $\myBox{セ}$ 」である。

 0: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ または $n\geqq c)$
 1: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ かつ $n\geqq c)$

 2: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15\ne 0$
 3: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15\ne 0$

 4: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15=0$
 5: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15=0$

(2) 整数 c が5以上のとき、 pq であるための必要条件ではない。なぜならば、整数 c が5以上のとき、整数 $n=\myBox{ソ}$ はつねに命題「 $q\implies p$ 」の反例となるからである。

(3) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 整数 c が $\myBox{タ}$ を満たすとき、 pq であるための十分条件ではない

 0: $c=4$
 1: $c\gt 5$

 2: $c=6$
 3: $c\gt 7$

(4) 整数全体の集合を全体集合とし、その部分集合 A, B
\begin{eqnarray} A &=& \{ k \mid k\gt 2 \}, \\ B &=& \{ k \mid k\geqq c \} \\ \end{eqnarray}と定める。集合 A, B の補集合をそれぞれ $\overline{A}, \overline{B}$ で表す。  次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 整数 n に関する次の条件のうち、 q と同値である条件は $\myBox{チ}$ である。

 0: $n\in A\cap B$
 1: $n\in A\cap \overline{B}$
 2: $n\in \overline{A}\cap B$

 3: $n\in A\cup B$
 4: $n\in A\cup \overline{B}$
 5: $n\in \overline{A}\cup B$

考え方

問題文には「必要条件ではない」や「十分条件ではない」とあり、あまり見慣れない出題となっています。しかし、これは、反例を考えましょう、ということです。仮定を満たすのに、結論を満たさないものを考えます。


【必答問題】

解答編

問題

 c を4以上の整数とする。整数 n に関する二つの条件 p, q を次のように定める。

 p: $n^2-8n+15=0$
 q: $n\gt 2$ かつ $n\lt c$

(1) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 命題「 $p\implies q$ 」の逆は「 $\myBox{ス}$ 」である。また、命題「 $p\implies q$ 」の対偶は「 $\myBox{セ}$ 」である。

 0: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ または $n\geqq c)$
 1: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ かつ $n\geqq c)$

 2: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15\ne 0$
 3: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15\ne 0$

 4: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15=0$
 5: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15=0$

解説

命題の逆とは、もとの命題の仮定と結論を入れ替えたものなので、 $q\implies p$ にあたる、選択肢5が答えです。

$p\implies q$ の対偶とは、 $\bar{q} \implies \bar{p}$ のことです。 $\bar{q}$ 、つまり、 $q$ の否定は、「 $n\leqq 2$ または $n\geqq c$ 」です。 $\bar{p}$ は、 $n^2-8n+15\ne 0$ です。なので、選択肢2が答えです。

解答

スセ:52

参考

【基本】逆・裏・対偶

解答編 つづき

(2) 整数 c が5以上のとき、 pq であるための必要条件ではない。なぜならば、整数 c が5以上のとき、整数 $n=\myBox{ソ}$ はつねに命題「 $q\implies p$ 」の反例となるからである。

解説

$p$ が $q$ であるための必要条件であることは、 $q\implies p$ が成り立つことと同じですが、この問題では、「必要条件ではない」と言ってるんですね。なので、 $q\implies p$ が成り立たない例を考えます。つまり、 $q$ が成り立つのに、 $p$ が成り立たない例を考える、ということです。

条件 $p$ の式 $n^2-8n+15=0$ は、 $(n-3)(n-5)=0$ と変形できるので、 $n=3,5$ と同値です。これ以外の値では、 $p$ を満たすことはありません。

$q$ の条件は「 $n\gt 2$ かつ $n\lt c$ 」なので、c が5以上なら、n は3と4が必ず条件を満たします。

このことから、 $n=4$ は、 $q$ が成り立つのに、 $p$ が成り立たない例になっていることがわかります。

解答

ソ:4

解答編 つづき

(3) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 整数 c が $\myBox{タ}$ を満たすとき、 pq であるための十分条件ではない

 0: $c=4$
 1: $c\gt 5$

 2: $c=6$
 3: $c\gt 7$

解説

$p$ が $q$ であるための十分条件であることは、 $p\implies q$ が成り立つことと同じですが、この問題では、「十分条件ではないのはいつか」が聞かれています。なので、 $p$ が成り立つのに、 $q$ が成り立たない条件を考えます。

$p$ が成り立つということは、 $n=3$ または $n=5$ ということです。このとき、 $q$ が成り立たないのは、 $2\lt n \lt c$ を満たさないときです。 $c$ が十分大きい値であれば、 $n$ は3でも5でもいいのですが、 $c$ の値が小さくなると、 $n=5$ が範囲に入らないこともあります。

選択肢の中でいえば、 $n=5$ が範囲に入らないのは、 $c=4$ のときです。 $c=4$ のとき、 $q$ は、 $n=3$ という条件と同値です。このときは、 $n=5$ が反例となり、pq であるための十分条件でないことがわかります。

解答

タ:0

解答編 つづき

(4) 整数全体の集合を全体集合とし、その部分集合 A, B
\begin{eqnarray} A &=& \{ k \mid k\gt 2 \}, \\ B &=& \{ k \mid k\geqq c \} \\ \end{eqnarray}と定める。集合 A, B の補集合をそれぞれ $\overline{A}, \overline{B}$ で表す。  次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 整数 n に関する次の条件のうち、 q と同値である条件は $\myBox{チ}$ である。

 0: $n\in A\cap B$
 1: $n\in A\cap \overline{B}$
 2: $n\in \overline{A}\cap B$

 3: $n\in A\cup B$
 4: $n\in A\cup \overline{B}$
 5: $n\in \overline{A}\cup B$

解説

条件 q は、「 $n\gt 2$ かつ $n\lt c$ 」です。集合 A に属するための条件 $k\gt 2$ と「 $n\gt 2$ 」とが対応しています。集合 B の補集合に属するための条件 $k\lt c$ と「 $n\lt c$ 」とが対応しています。2つの条件を同時に満たすことは、対応する集合のどちらにも属するということなので、集合の共通部分に対応します。

以上から、 q と同値な条件は\[ n\in A\cap \overline{B} \]となります。

解答

チ:1

参考

【基本】命題と集合

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