センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$c を4以上の整数とする。整数 n に関する二つの条件 p, q を次のように定める。

 p: $n^2-8n+15=0$
 q: $n\gt 2$ かつ $n\lt c$

(1) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 命題「 $p\implies q$ 」の逆は「 $\myBox{ス}$ 」である。また、命題「 $p\implies q$ 」の対偶は「 $\myBox{セ}$ 」である。

 0: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ または $n\geqq c)$
 1: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ かつ $n\geqq c)$

 2: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15\ne 0$
 3: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15\ne 0$

 4: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15=0$
 5: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15=0$

(2) 整数 c が5以上のとき、 pq であるための必要条件ではない。なぜならば、整数 c が5以上のとき、整数 $n=\myBox{ソ}$ はつねに命題「 $q\implies p$ 」の反例となるからである。

(3) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 整数 c が $\myBox{タ}$ を満たすとき、 pq であるための十分条件ではない

 0: $c=4$
 1: $c\gt 5$

 2: $c=6$
 3: $c\gt 7$

(4) 整数全体の集合を全体集合とし、その部分集合 A, B
\begin{eqnarray}
A &=& \{ k \mid k\gt 2 \}, \\
B &=& \{ k \mid k\geqq c \} \\
\end{eqnarray}と定める。集合 A, B の補集合をそれぞれ $\overline{A}, \overline{B}$ で表す。
 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 整数 n に関する次の条件のうち、 q と同値である条件は $\myBox{チ}$ である。

 0: $n\in A\cap B$
 1: $n\in A\cap \overline{B}$
 2: $n\in \overline{A}\cap B$

 3: $n\in A\cup B$
 4: $n\in A\cup \overline{B}$
 5: $n\in \overline{A}\cup B$

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考え方

問題文には「必要条件ではない」や「十分条件ではない」とあり、あまり見慣れない出題となっています。しかし、これは、反例を考えましょう、ということです。仮定を満たすのに、結論を満たさないものを考えます。