【必答問題】
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$c を4以上の整数とする。整数 n に関する二つの条件 p, q を次のように定める。
p： $n^2-8n+15=0$
q： $n\gt 2$ かつ $n\lt c$(1) 次の $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
命題「 $p\implies q$ 」の逆は「 $\myBox{ス}$ 」である。また、命題「 $p\implies q$ 」の対偶は「 $\myBox{セ}$ 」である。
0: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ または $n\geqq c)$
1: $n^2-8n+15\ne 0 \implies (n\leqq 2$ かつ $n\geqq c)$2: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15\ne 0$
3: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15\ne 0$4: $(n\leqq 2$ または $n\geqq c) \implies n^2-8n+15=0$
5: $(n\gt 2$ かつ $n\lt c) \implies n^2-8n+15=0$(2) 整数 c が5以上のとき、 p は q であるための必要条件ではない。なぜならば、整数 c が5以上のとき、整数 $n=\myBox{ソ}$ はつねに命題「 $q\implies p$ 」の反例となるからである。
(3) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。
整数 c が $\myBox{タ}$ を満たすとき、 p は q であるための十分条件ではない。
0: $c=4$
1: $c\gt 5$2: $c=6$
3: $c\gt 7$(4) 整数全体の集合を全体集合とし、その部分集合 A, B を
\begin{eqnarray}
A &=& \{ k \mid k\gt 2 \}, \\
B &=& \{ k \mid k\geqq c \} \\
\end{eqnarray}と定める。集合 A, B の補集合をそれぞれ $\overline{A}, \overline{B}$ で表す。
次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。整数 n に関する次の条件のうち、 q と同値である条件は $\myBox{チ}$ である。
0: $n\in A\cap B$
1: $n\in A\cap \overline{B}$
2: $n\in \overline{A}\cap B$3: $n\in A\cup B$
4: $n\in A\cup \overline{B}$
5: $n\in \overline{A}\cup B$
考え方
問題文には「必要条件ではない」や「十分条件ではない」とあり、あまり見慣れない出題となっています。しかし、これは、反例を考えましょう、ということです。仮定を満たすのに、結論を満たさないものを考えます。