センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$机が三つあり、各机の上には白のカードが1枚、各机の下には箱が一つ置かれている。いずれの箱の中にも白のカード1枚、青のカード2枚、合計3枚のカードが入っている。次の操作 $S$ を行うため、各机の前に一人ずつ配置する。

 $S$: 机の下に置かれた箱の中から無作為に取り出したカード1枚と、同じ机の上に置かれたカードとを交換することを、3人が同時に行う。

 この操作 $S$ を2回繰り返す。また、状態 A, B を次のように定める。

 $A$: すべての机の上に同色のカードが置かれている。
 $B$: 二つの机の上に同色のカードが置かれ、残りの一つの机の上には別の色のカードが置かれている。

(1) 1回目の終了時に、すべての机の上に白のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イウ}}$ であり、すべての机の上に青のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オカ}}$ である。

(2) 1回目の終了時に、状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}$ であり、状態 $B$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ である。

(3) 1回目の終了時に二つの机の上に白のカードが置かれ、残りの一つの机の上に青のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ である。

 また、1回目の終了時に二つの机の上に青のカードが置かれ、残りの一つ机の上に白のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\mybox{サ}}{\mybox{シ}}$ である。

(4) 2回目の終了時に状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セソ}}$ である。

(5) 2回目の終了時に状態 $B$ になったとき、1回目の終了時も状態 $B$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チツ}}$ である。

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考え方

状況や書き方が複雑ですが、やっていること自体はそれほどむずかしくありません。(1)(2)は、状況を正しくつかめていれば答えが出せるでしょう。

(3)から、条件付き確率が出てきて、すこし難しくなります。どういう事象を考えているのか、整理しながら考えていきましょう。また、(4)(5)を解くときにも、すでに解いた問題の中で使える値があるので、うまく利用しましょう。

問題文では、「箱から取り出したカードと机の上にあるカードを交換する」と書いていますが、机に上にあったカードをどうするかは明記されていません。少し不親切ですが、机の上にあったカードは箱に戻すと考えて解いていきましょう。