センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ BC }=12$, $\cos\angle \mathrm{ ABC }=\dfrac{1}{3}$, $\cos\angle \mathrm{ ACB }=\dfrac{7}{9}$ とする。このとき
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{ AB } \cdot \cos\angle \mathrm{ ABC }+\mathrm{ AC }\cdot\cos\angle \mathrm{ ACB }=\myBox{アイ}, \\[5pt] & & \dfrac{\mathrm{ AB }}{\mathrm{ AC }}=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}
\end{eqnarray}である。

 したがって\[ \mathrm{ AB }=\myBox{オ},\ \mathrm{AC}=\myBox{カキ} \]であり、辺 BC の中点を D とすると $\mathrm{ AD }=\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケコ}}$ である。

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考え方

アイの部分は、第一余弦定理と呼ばれるものです。ただ、それを知らなくても、 $\mathrm{ AB } \cdot \cos\angle \mathrm{ ABC }$ などがどの部分を表しているか、図をかけば思いつけるでしょう。

ウエの部分は、ノーヒントだと少し難しいですが、図を用いて何かを2通りで表すという方針で考えるといいでしょう。もしくは、有名な定理を使います。

これができれば、残りはそれほど難しくはないでしょう。「したがって」とあるので、先ほどの2つの式を使って、辺の長さを求めます。 AD は、三角形 ABD で、すでにわかっている辺や角の情報から、何を使うか考えましょう。