センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を実数とする。x の関数\[ f(x)=(1+\sqrt{2})x-\sqrt{3}a \]を考える。

(1) $f(0)\leqq 6$ となるような a の値の範囲は\[ a\geqq\myBox{アイ} \sqrt{\myBox{ウ}} \]であり、 $f(6)\geqq 0$ となるような a の値の範囲は\[ a\leqq \myBox{エ}\sqrt{\myBox{オ}}+\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}} \]である。ただし、 $\mybox{エ}\sqrt{\mybox{オ}}$, $\mybox{カ}\sqrt{\mybox{キ}}$ の解答の順序は問わない。

(2) 数直線において、実数 $\mybox{アイ}\sqrt{\mybox{ウ}}$ を表す点を P とし、実数 $\mybox{エ}\sqrt{\mybox{オ}}+\mybox{カ}\sqrt{\mybox{キ}}$ を表す点を Q とするとき、線分 PQ の中点に対応する実数は $\sqrt{\myBox{ク}}$ である。

(3) 一般に、実数 u と、0以上の実数 r に対し\[ |u|\leqq r \iff -r\leqq u \leqq r \]が成り立つことに注意すると、 $f(0)\leqq 6$ かつ $f(6)\geqq 0$ となるような a の値の範囲は、絶対値を含む不等式\[ \left|a-\sqrt{\myBox{ケ}} \right| \leqq \sqrt{\myBox{コ}} + \myBox{サ}\sqrt{\myBox{シ}} \]を満たす a の値の範囲に一致する。

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380ページ

考え方

(1)は、一次不等式、根号の計算です。(2)は、中点の座標を求める式がわからなくても、数直線をかけば思いつけるでしょう。

(3)は、(2)との関係がわからなくても、解答の式から考えて求めることもできます。