センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$560$ の約数で $2$ の累乗であるもののうち、最大のものは $16$ であり\[ 560=16\times\myBox{アイ} \quad \cdots ① \]である。また、\[ 560=13\times\myBox{ウエ}+1 \quad \cdots ② \]である。

(1) ①と②より、 $x=\mybox{アイ}$, $y=\mybox{ウエ}$ は不定方程式\[ 16x=13y+1 \]の一つの整数解となる。

 $c$ を整数とするとき、不定方程式\[ 16x=13y+c \]のすべての整数解は、 $s$ を整数として
\begin{eqnarray}
x &=& \myBox{オカ}s+\mybox{アイ}c \ , \\[5pt] y &=& \myBox{キク}s+\mybox{ウエ}c
\end{eqnarray}と表せる。


 以下の(2), (3), (4)では、 $560^2$ で割った商が $1$ であるような自然数 $k$ を考え、 $k$ を $560^2$ で割った余りを $\ell$ とし、さらに $\ell$ を $560$ で割った商を $q$ 、余りを $r$ とする。このとき\[
k=560^2+560q+r \]と表せる。

(2) $k$ が $16$ の倍数であるのは、 $r$ が $\myBox{ケコ}$ の倍数のときである。また、 $560^2$ を $13$ で割った余りは $\myBox{サ}$ であるので、 $k$ が $13$ の倍数であるのは、 $\mybox{サ}+q+r$ が $\myBox{シス}$ の倍数のときである。

(3) $k$ は、 $16$ でも $13$ でも割り切れるような最小のものとする。このとき、 $q=\myBox{セ}$, $r=\myBox{ソタ}$ である。

(4) $\sqrt{k}$ が自然数となるとき、 $k$ は、 $0$ 以上のある整数 $m$ により\[ k=(560+m)^2 \]と表せる。

 $k$ は、 $16$ でも $13$ でも割り切れ、かつ $\sqrt{k}$ が自然数となるような最小のものとする。このとき、 $m=\myBox{チツ}$ であり、 $q=\myBox{テト}$, $r=\myBox{ナニヌ}$ である。

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考え方

(1)は、不定方程式の整数解を求める一般的な問題です。

(2)以降は、別の切り口で問題を考えていきますが、(1)の結果を使って解く場面もあります。(4)は、(3)とはまた別の考え方を使って解きます。