センター試験数学I・数学A 2018年度追試第5問 [2] 解説

🕒 2020/07/17 🔄 2023/05/01

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　一般の凸多面体（へこみのない多面体）の頂点の数 $v$, 辺の数 $e$, 面の数 $f$ について $v-e+f$ の値を考える。例えば、立方体の場合で考えると、この値は $\myBox{ク}$ である。

　以下では $v:e=2:5$ かつ $f=38$ であるような凸多面体について考える。オイラーの多面体定理により $v-e+f=\mybox{ク}$ であることがわかるので、 $v=\myBox{ケコ}$, $e=\myBox{サシ}$ である。

　さらに、この凸多面体は $x$ 個の正三角形の面と $y$ 個の正方形の面で構成されていて、各頂点の集まる辺の数はすべて同じ $\ell$ であるとする。このとき $3x+4y=\myBox{スセソ}$ であることから $x=\myBox{タチ}$ であり、さらに $\ell=\myBox{ツ}$ である。

考え方

オイラーの多面体定理に関する問題ですが、あまり練習する機会がないので、慣れていない人が多いでしょう。

オイラーの多面体定理の内容を覚えていなくても、問題文に沿って行けば解けるようになっていて親切です。ただ、後半は、頂点、辺、面の間に成り立つ他の関係式を自分で導く必要があり、類題を解いたことがないとなかなか難しいでしょう。わかりやすい立方体などを使って、どのように計算するかを考えると解きやすいかもしれません。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　一般の凸多面体（へこみのない多面体）の頂点の数 $v$, 辺の数 $e$, 面の数 $f$ について $v-e+f$ の値を考える。例えば、立方体の場合で考えると、この値は $\myBox{ク}$ である。

解説

立方体の頂点の数は8、辺は12、面は6なので、 $v-e+f=8-12+6=2$ です。

解答

ク：2

解答編つづき

問題

　以下では $v:e=2:5$ かつ $f=38$ であるような凸多面体について考える。オイラーの多面体定理により $v-e+f=\mybox{ク}$ であることがわかるので、 $v=\myBox{ケコ}$, $e=\myBox{サシ}$ である。

解説

オイラーの多面体定理より、穴のない多面体では $v-e+f=2$ が成り立ちます。なので、今の場合は $v-e+38=2$ から $v=e-36$ となります。

$v:e=2:5$ だから $5v=2e$ なので
\begin{eqnarray} 5(e-36) &=& 2e \\[5pt] 3e &=& 180 \\[5pt] e &=& 60 \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 $v=24$ であることがわかります。

解答

ケコ：24
サシ：60

解答編つづき

問題

　さらに、この凸多面体は $x$ 個の正三角形の面と $y$ 個の正方形の面で構成されていて、各頂点の集まる辺の数はすべて同じ $\ell$ であるとする。このとき $3x+4y=\myBox{スセソ}$ であることから $x=\myBox{タチ}$ であり、さらに $\ell=\myBox{ツ}$ である。

解説

それぞれの面をすべて切り離すと、辺の数は全部で $3x+4y$ 本になります。面をつなぎあわせて元に戻すとき、辺と辺とをつなげていくことになるので、面をすべてつなぎ合わせれば、辺の数は半分になります。これが $e=60$ と一致することから、 $\dfrac{3x+4y}{2}=60$ つまり $3x+4y=120$ が成り立ちます。

この多面体の面の数は $x+y$ と表され、 $f=38$ なので $y=38-x$ と書けます。これより
\begin{eqnarray} 3x+4y &=& 120 \\[5pt] 3x+4(38-x) &=& 120 \\[5pt] -x &=& 120-152 \\[5pt] x &=& 32 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

最後に、各頂点に集まる辺の数を考えます。それぞれの面をすべて切り離すと、頂点の数は全部で $3x+4y$ 個になります。面をつなぎあわせて元に戻すとき、 $\ell$ 本の辺がある頂点に集まるとすると、 $\ell$ 個の面を使って、 $\ell$ 個の頂点が1か所に集まることになります。（例えば、立方体を思い浮かべましょう。各頂点には3つの辺が集まっています。これは3つの面が集まってできたと考えられます。3つの面にあった各頂点が1か所に集まるため、面をつなぎ合わせることで、3個の頂点が1か所に集まると考えることができます）

このことから、面をすべてつなぎ合わせれば、頂点の数は $\dfrac{3x+4y}{\ell}$ 個になります。これが $v=24$ なので\[ \ell=\dfrac{3x+4y}{v}=\frac{120}{24}=5 \]だとわかります。